考研数学公式（word版，全面）(8)

中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com ??? A*?????A11A12?A1nA21A22?A2n????An1??An2???Aij???Ann?? ?T

线性表示

?可以用?1,?2,?,?s线性表示，即?可以表示为?1,?2,?,?s的线性组合，

也就是存在c1,c2,?,cs使得 c1?1?c2?2???cs?s?? 记号：???1,?2,?,?s

线性相关性

线性相关：存在向量?i可用其它向量?1,?,?i?1,?i?1,?,?s线性表示。 线性无关：每个向量?i都不能用其它向量线性表示

定义：如果存在不全为0的c1,c2,?,cs，使得c1?1?c2?2???cs?s?0则称

?1,?2,?,?s线性相关，否则称?1,?2,?,?s线性无关。

即：?1,?2,?,?s线性相（无）关?x1?1???xs?s?0有（无）非零解

???1,?2,?,?s?x?0有（无）非零解

极大无关组和秩

定义：?1,?2,?,?s的一个部分组?I?称为它的一个极大无关组，如果满足：

i）?I?线性无关。

ii）?I?再扩大就相关。

?II???1??s??I? ?I????1,?2,?,?s

定义：规定?1,?2,?,?s的秩? ??1,?2,?,?s??#?I?。

如果?1,?2,?,?s每个元素都是零向量，则规定其秩为0。

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中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com 0?? ??1,?,?s??min?n,s?

有相同线性关系的向量组

定义：两个向量若有相同个数的向量：?1,?2,?,?s,?1,?2,?,?s，并且向量方程 x1,?1?x2?2???xs?s?0与x1?1?x2?2???xs?s?0同解，则称它们有相同的线性关系。

①对应的部分组有一致的相关性。 ?1,?2,?4的对应部分组?1,?2,?4，

若?1,?2,?4相关，有不全为0的c1,c2,c4使得 c1?1?c2?2?c4?4?0，

即?c1,c2,0,c4,0,?,0?是x1?1?x2?2???xs?s?0的解， 从而也是x1?1?x2?2???xs?s?0的解，则有 c1?1?c2?2?c4?4?0， ?1,?2,?3也相关。 ②极大无关组相对应，从而秩相等。 ③有一致的内在线表示关系。

设：A???1,?2,?,?s?，B???1,?2,?,?s?，则 x1?1?x2?2???xs?s?0 即 Ax?0， x1?1?x2?2???xs?s?0 即 Bx?0。

?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?s有相同的线性关系即Ax?0与Bx?0同解。 反之，当Ax?0与Bx?0同解时，A和B的列向量组有相同的线性关系。

矩阵的秩

定理：矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩 规定r?A??行（列）向量组的秩。

r?A?的计算：用初等变换化A为阶梯形矩阵B，则B的非零行数即r?A?。

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中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com 命题：r?A??A的非零子式阶数的最大值。

方程组的表达形式

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1??a21x1?a22x2???a2nxn?b2 1．?

???ax?ax???ax?bm22mnnm?m11 2．Ax?? ?是解?A???

3．x1?1?x2?2???xn?n?? 有解????1,?2,?,?n

基础解系和通解

1．Ax?0有非零解时的基础解系

?1,?2,?,?e是Ax?0的基础解系的条件： ①每个?i都是Ax?0的解

②?1,?2,?,?e线性无关

③Ax?0的每个解???1,?2,?,?e

③l?n???A?

/

通解

①如果?1,?2,?,?e是Ax?0的一个基础解系，则Ax?0的通解为

c1?1?c2?2???ce?e，ci任意

②如果?0是Ax?????0?的一个解，?1,?2,?,?e是Ax?0的基础解系，则Ax??的通解为

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中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com ?0?c1?1?c2?2???ce?e，ci任意

特征向量与特征值

定义：如果??0，并且A?与?线性相关，则称?是A的一个特征向量。此时，有数?，使得A????，称?为?的特征值。

设A是数量矩阵?E，则对每个n维列向量?，A????，于是，任何非零列向量都是?E的特征向量，特征值都是?。

①特征值有限特征向量无穷多

若A????，A?c???cA??c?????c??

A?1???1? ??A?c1?1?c2?2??c1A?1?c2A?2???c1?1?c2?2?

A?2???2? ②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。 ③计算时先求特征值，后求特征向量。

特征向量与特征值计算 A????,??0

???E?A???0,??0

??是??E?A?x?0的非零解 命题：①?是A的特征值?? E?A?0

②?是属于?的特征向量??是?? E?A?x?0的非零解 称多项式xE?A为A的特征多项式。

?是A的特征值??是A的特征多项式xE?A的根。 ?的重数：?作为xE?A的根的重数。

n阶矩阵A的特征值有n个：? 1,? 2,?,? n，可能其中有的不是实数，有的是多重的。 计算步骤：

①求出特征多项式xE?A。 ②求xE?A的根，得特征值。

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中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com ③对每个特征值? i，求?? iE?A?x?0的非零解，得属于? i的特征向量。

n阶矩阵的相似关系

设A，B是两个n阶矩阵。如果存在n阶可逆矩阵U，使得U记作A~B。

n阶矩阵的对角化

基本定理 A可对角化?A有n个线性无关的特征向量。 设可逆矩阵U???1,?2,?,?n?，则 ??1??0?1 UAU??0??0?000?00??0? 0???n??000?00??0????1?1,?2?2,?,?n?n? 0???n???1AU?B，则称A与B相似，

?200??1??0 ?A??1,?2,?,?n??U?0??0??200 ?A?i??i?i，i?1,2,?,n 判别法则

A可对角化?对于A的每个特征值?，?的重数?n????E?A?。

计算：对每个特征值?i，求出??iE?A?x?0的一个基础解系，把它们合在一起，得到n个线性无关的特征向量，?1,?,?n。令U???1,?2,?,?n?，则 ??1??0?1 UAU??0??0?000?00??0?，其中?i为?i的特征值。 0???n???200

二次型（实二次型）

二次型及其矩阵

一个n元二次型的一般形式为 f?x1,x2,?,xn??n?ai?1iixi?2?aijxixj

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