中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com cA?cA
n ?,?1??2,???,?1,???,?2,?
A???1,?2,?3?，3阶矩阵 B???1,?2,?3? A?B?A?B
A?B???1??1,?2??2,?3??3?
A?B??1??1,?2??2,?3??3
A0?BA?0B?AB
?E?i,j?c???1
有关乘法的基本运算
Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj 线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B， A?B1?B2??AB1?AB2 ?cA?B?c?AB??A?cB? 结合律 ?AB?C?A?BC? ?AB??BTAT
TAB?AB
AkAl?Ak?l ?Ak??Akl
lkk ?AB??AB不一定成立！
kAE?A，EA?A
A?kE??kA，?kE?A?kA
AB?E?BA?E
与数的乘法的不同之处
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中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com ?AB??AkBk不一定成立！
k 无交换律 因式分解障碍是交换性
一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如 A2?2A?3E??A?3E??A?E? 无消去律（矩阵和矩阵相乘）
当AB?0时??A?0或B?0 由A?0和AB?0??B?0
由A?0时AB?AC??B?C（无左消去律） 特别的 设A可逆，则A有消去律。
左消去律：AB?AC?B?C。
右消去律：BA?CA?B?C。
如果A列满秩，则A有左消去律，即
①AB?0?B?0 ②AB?AC?B?C
可逆矩阵的性质 i）当A可逆时，
AT也可逆，且?AT??1??A?1T?。
Ak也可逆，且?Ak??1??A?1k?。
1c 数c?0，cA也可逆，?cA??1?A?1。
ii）A，B是两个n阶可逆矩阵?AB也可逆，且?AB??1?B?1A?1。
推论：设A，B是两个n阶矩阵，则AB?E?BA?E 命题：初等矩阵都可逆，且 ?E?i,j???1?E?i,j?
?E?i?c????1??1???E??i????
??c?? ?E?i,j?c????1?E?i,j??c??
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中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com 命题：准对角矩阵 A11A?0000A220000?0000Akk ?1A110A2200?100?0000Akk?1可逆?每个Aii都可逆，记A?1?000
伴随矩阵的基本性质： AA*?A*A?AE
A*A?1 当A可逆时， A?E 得A?A*A， （求逆矩阵的伴随矩阵法）
且得：?A*? 伴随矩阵的其他性质
①A*?An?1?1?AA?A??1?? ??A?*???1??A?1?A??1?1?A?? A??, A*?AAT?1
②?AT?*??A*?, ③?cA?*?cn?1A*, ④?AB?*?B*A*,
⑤?Ak?*??A*?，
k ⑥?A*?*?An?2?aA。 n?2时， ?A*?*?A A*????c??b?? d?? 关于矩阵右上肩记号：T，k，?1，*
i) 任何两个的次序可交换，
T 如?A?*??A*?，
T ?A*??1?A??1?*等
?1TT ii) ?AB??BA, ?AB?T?B?1A?1，
?AB?*?B*A*
kk 但?AB??BA不一定成立！ k
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中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com 线性表示 0??1,?2,?,?s
?i??1,?2,?,?s
???1,?2,?,?s?x1?1?x2?2???xs?s??有解 ???1,?2,?,?s?x??有解x??x1,?,xs? Ax??有解，即?可用A的列向量组表示 AB?C??r1,r2,?,rs?，A???1,?2,?,?n?， 则r1,r2,?,rs??1,?2,?,?n。 ?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s，
则存在矩阵C，使得??1,?2,?,?t????1,?2,?,?s?C
线性表示关系有传递性 当?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s?r1,r2,?,rp， 则?1,?2,?,?t?r1,r2,?,rp。 等价关系：如果?1,?2,?,?s与
?T?
?1,?2,?,?t互相可表示
?1,?2,?,?s???1,?2,?,?t
记作?1,?2,?,?s??1,?2,?,?t。
线性相关
s?1，单个向量?，x??0 ?相关???0
s?2，?1,?2相关?对应分量成比例 ?1,?2相关?a1:b1?a2:b2???an:bn
①向量个数s=维数n，则?1,?,?n线性相（无）关??1??n????0 A???1,?2,?,?n?，Ax?0有非零解?A?0
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中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com 如果s?n，则?1,?2,?,?s一定相关
Ax?0的方程个数n?未知数个数s ②如果?1,?2,?,?s无关，则它的每一个部分组都无关
③如果?1,?2,?,?s无关，而?1,?2,?,?s,?相关，则???1,?2,?,?s
证明：设c1,?,cs,c不全为0，使得c1?1???cs?s?c??0
则其中c?0，否则c1,?,cs不全为0，c1?1???cs?s?0，与条件?1,?,?s无关矛
c1ccsc盾。于是????1????s。
④当???1,?,?s时，表示方式唯一??1??s无关
（表示方式不唯一??1??s相关）
⑤若?1,?,?t??1,?,?s，并且t?s，则?1,?,?t一定线性相关。
证明：记A???1,?,?s?，B???1,?,?t?，
则存在s?t矩阵C，使得 B?AC。
Cx?0有s个方程，t个未知数，s?t，有非零解?，C??0。
则B??AC??0，即?也是Bx?0的非零解，从而?1,?,?t线性相关。
各性质的逆否形式
①如果?1,?2,?,?s无关，则s?n。
②如果?1,?2,?,?s有相关的部分组，则它自己一定也相关。
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