第三部分 试验设计与数据分析方法(4)

有2列，则：

（3－11）

② 计算自由度： 总平方的总自由度：

dfT = 试验总次数－1 = n－1 （3－12）

正交表任一列离差平方和对应的自由度

dfj = 因素水平－1 = r－1 （3－13）

显然 （3－14） 两因素交互作用的自由度有两种计算方法，一是等于两因素自由度之积，例如

dfA×B = dfA×dfB （3－15）

二是等于交作用所占列的自由度或所占n列的自由度之和。 误差的自由度：

（3－16）

③ 计算平均离差平方和（均方）以A因素为例，因素的均方为：

（3－17）

以A×B为例，交互作用的均方为：

（3－18）

试验误差的均方为：

（3－19）

注意，计算完均方之后，如果因互或交互作用的均方小于或等于误差的均方，则应将它们归入误差，构成新的误差。具体方法参考例3.7。 ④ 计算F值

将各因素或交互作用的均方以误差的均方可得到F值。例如：

（3－20）

（3－21）

⑤ 显著性检验

如，对于给定的显著性水平a，检验因素A和交互作用A×B对试验结果有无显著影响。先从F分布表中查出临界Fa(dfA,dfe)和Fa(dfA×B,dfe)，然后比较F值与临界值的大小，若FA＞Fa(dfA,dfe)，则因素A对试验结果有显著影响，若FA＜Fa(dfA,dfe)，则因素A对试验结果无显著影响；类似地，若FA×B＞Fa(dfA×B,dfe)，则说明交互作用A×B对试验结果有无显著影响。一般来说，F值与对应临界值之间的差距越大，说明该因素或交互作用对试验结果的影响越显著，或者说该因素或交互作用越重要。 最后将方差分析结果列在方差分析表中。 (2) 二水平正交试验的方差分析

二水平的正交试验的方差分析比较简单，正交表中任一列（第j列）对应的离差平方和的计算可以进行如下简化：

（3－22）

例3.7 某厂拟采用化学吸收法，用填料塔吸收废气的SO2，为了使废气中SO2的浓度达到排放标准，通过正我试验对吸收工艺条件进行了摸索，试验的因素与水平如表3-23所示。需要考虑交互作用A×B，B×C。如果将A，B，C放在正交表L8(27)的1，2，4列，试验结果（SO2摩尔分数/%）依次为：0.15，0.25，0.03，0.02，0.09，0.16，0.19，0.08。试进行方差分析。（a = 0.05）

表3-23 例3.7因素水平表

水平 1 2 （A）碱浓度/% 5 10 （B）操作温度/℃ 40 20 （C）填料种类 甲 乙 解：① 列出正交表L8(27)和试验结果，见表3-24

表3-24 例3.7试验结果及分析

试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 A 1 1 1 1 1 2 2 2 2 45 52 7 B 2 1 1 2 2 1 1 2 2 65 32 33 A×B 3 1 1 2 2 2 2 1 1 67 30 37 C 4 1 2 1 2 1 2 1 2 46 51 5 3.125 空列 5 1 2 1 2 2 1 2 1 42 55 13 21.125 B×C 6 1 2 2 1 1 2 2 1 34 63 29 105.125 52 45 7 6.125 空列 7 1 2 2 1 2 1 12 SO2摩尔分数×100 15 25 3 2 9 16 19 8 K1 K2 极差R SSj T = 97 P = 1176.125 Q = 1625 6.125 136.125 171.125 ② 计算离差平方和

总离差平方和：SST = Q－P + 1625－1176.125 = 448.875 因素与交互作用的平方和： 同理 误差平方和：

SSe = SS5 + SS7 = 21.125 + 6.125 = 27.250 或 SSe = SST－(SSA + SSB + SSA×B + SSC + SSB×C)

= 448.875－(6.125 + 136.125 + 171.125 + 3.125 + 105.125) = 27.250 ③ 自由度计算

总自由度： dfT = n－1 = 8－1 = 7

各因素自由度： dfA = dfB = dfC = r－1 = 2－1 = 1 交互作用自由度：

或 同理 误差自由度：

或 ④ 均方计算

由于各因素和交互作用的自由度为1，所以它们的均方应该等于它们各自的离差平方和，即：

MSA = SSA = 6.125 MSB = SSB = 136.125 MSA×B = SSA×B = 171.125 MSC = SSC = 3.125 MSB×C = SSB×C = 105.125

但误差的均方为：

可以发现MSA＜MSe，MSC＜MSe，这说明了因素A、C对试验结果的影响较小，为次要因素，所以可以将它们都归入误差，这样误差的离差平方和、自由度和均方都会随之发生变化，即

新误差平方和： 新误差自由度： 新误差均方： ⑤ F值计算

由于因素A、C已经并入误差，所以就不需要计算它们对应的F值。 ⑥ F检验

表3-25 例3.7方差分析表

差异源 B A×B B×C 总和 448.125 SS 136.125 171.125 105.125 df 1 1 1 MS 136.125 171.125 105.125 9.125 F 14.92 18.75 11.52 显著性 * * * 7 查得临界值F0.05(1，4) = 7.71，F0.01(1，4) = 21.20，所以对于给定显著性水平。a = 0.05，因素B和交互作用A×B，B×C对试验结果都有显显影响。最后将分析结果列于方差分析表中（见表3-25）。 从表3-25中F值的大小也可以看出因素的主次顺序为A×B，B，B×C，这与极差分析结果的是一致的。 ⑦ 优方案的确定

交互作用A×B，B×C都对试验指标有显著影响，所以因素A，B，C优水平的确定应依据A，B水平搭配表（表3-26）和B，C水平搭配表（表3-27）。由于指标（废气中SO2摩尔分数）是越小越好，所以因素A，B优水平搭配为A1B1，因素B，C优水平搭配为B2C2。于是，最后确定的优方案为A1B3C2，即碱浓度5%，操作温度20℃，填料选择乙。

表3-26 例3.7因素A，B水平搭配表

因素 B1 B2 A1 (15 + 9)/2 = 12.0 (3 + 19)/2 = 11.0 表3-27 例3.7因素B，C水平搭配表

因素 B1 B2 (3) 三水平正交试验的方差分析

对于三水平正交试验的方差分析，因r = 3，所以任一列（第j列 ）的离差平方和为：

（3－23）

例3.8 为了提高某种产品的得率，考察A，B，C，D四个因素，每个因素取3个水平，并且考虑交互作用A×B，A×C，A×D，试通过正交试验设计确定较好的试验方案。 解：① 试验设计

本试验要考虑4个因素和3种交互作用，且每种交互作用占两列，这样因素和交互作用在正交表中总共占有10列，所以应该选择正交表L27(3)。根据L27(3)的交互作用表或表头设计表进行表头设计（如表3-28所示，第11、12、13列为空列，未在表中列出），然后进行试验，得到试验结果yi（i = 1,2,?,27）。 ② 计算离差平方和 首先

所以总离差平方和 SST = Q－P = 4.607－3.706 = 0.901

13

13

A2 (9 + 16)/2 = 12.5 (19 + 8)/2 = 13.5 C1 (15 + 9)/2 = 12.0 (3 + 19)/2 = 11.0 C2 (9 + 16)/2 = 12.5 (19 + 8)/2 = 13.5 表3-28 例3.8试验设计及结果

试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 B 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 5 C 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 6 7 8 9 D 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1 10 (A×D)1 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 1 3 1 2 1 2 3 得率yi/% 0.422 0.354 0.523 0.576 0.514 0.388 0.619 0.436 0.281 0.153 0.158 0.117 0.387 0.306 0.282 0.134 0.163 0.219 0.511 0.184 0.065 0.733 0.488 0.367 0.554 0.716 0.353 (A×B)1 (A×B)2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 1 1 1 3 3 3 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 (A×C)1 (A×C)2 (A×D)2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 K1 4.113 2.487 3.403 3.897 4.089 3.623 3.029 3.438 3.073 3.117 K2 1.919 4.041 3.529 2.754 3.319 2.763 3.720 3.254 2.916 3.362 K3 3.917 3.475 3.071 3.352 2.595 3.617 3.254 3.320 40.14 3.524 所以

误差的离差平方和

= 0.901－(0.335 + 0.137 + 0.084 + 0.124 + 0.082 + 0.078 + 0.011) = 0.050 ③ 计算自由度

总自由度： dfT = n－1 = 27－1 = 26

各因素自由度： dfA = dfB = dfC = dfD = r－1 = 3－1 = 2 交互作用自由度：

或 同理 误差自由度：

或

= 26－(2 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2) = 6 ④ 计算均方

各因素和交互作用的均方为： 但误差的均方为

通过计算得到： ，这说明了交互作用A×D对试验结果的影响较小，可以将它归入误差，这样 新误差离平方和： 新误差均方： ⑤ 计算F值 ⑥ F检验

查得临界值F0.05(2，10) = 4.10，F0.01(2，10) = 10.04，F0.05(4，10) = 3.48，F0.01(4，10) = 5.99，所以对于给定显著性水平a = 0.05，因素A，B，C对试验结果有非常显著的影响，因素D和交互作用A×B对试验结果有显著影响，交互作用A×C对试验结果没有显著影响。最后将分析结果列于方差分析表中（见表3-29）。

表3-29 例3.8方差分析表

差异源 A B A×B C A×C D 总和 ⑦ 优方案的确定

由于试验指标是产品得率，是越大越好，从表3-29可以看出，在不考虑交互作用的情况下，优方案应取各因素最大K值所对应的水平，即为A1B2C1D3。从方差分析的结果可以看出，交互作用A×C和A×D对试验结果无显著影响，交互作用A×B对试验结果的影响程度也不及因素A，B，C，所以本例在确定因素A，B，C，D优水平时可以不考虑交互作用，即优方案为A1B2C1D3。

注意，如果交互作用对试验结果影响非常显著，则应画出对应两因素的反搭配表，这里搭配表的结构与例3.4类似，只不过因素的水平数为3，总共有9种搭配，然后根据表确定两因素较好的水平搭配，再确定优水平。

(4) 混合水平正交试验的方差分析 ① 利用混合水平正交表

利用混合水平正交表时，由于不同列的水平数不同，所以不同列的有关计算会存在差别，下面以混合水平正交表L8(41×24)为例进行说明。 ⅰ.总离差平方和 SST = Q－P ⅱ.二水平列 离差平方和：

自由度： df2 = df3 = df4 = df5 = 2－1 = 1 ⅲ.四水平列 离差平方和：

自由度： df1 = 4－1 = 3

0.901 SS 0.335 0.137 0.084 0.124 0.082 0.078 df 2 2 4 2 4 2 MS 0.168 0.628 0.021 0.062 0.020 0.039 0.006 F 28.00 11.33 3.50 10.33 3.33 6.50 显著性 * * * * * * * * 26

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