计量经济学分章习题与答案1(3)

（2）当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平educ相关时，上述回归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响，因为这时出现解释变量与随机扰动项相关的情形，基本假设3不满足。

2、已知回归模型E????N??，式中E为某类公司一名新员工的起始薪金（元），N为所受教育水平（年）。随机扰动项?的分布未知，其他所有假设都满足。 （1）从直观及经济角度解释?和?。

?满足线性性、无偏性及有效性吗？简单陈述理由。 ?和?（2）OLS估计量?（3）对参数的假设检验还能进行吗？简单陈述理由。

（4）如果被解释变量新员工起始薪金的计量单位由元改为100元，估计的截距项、斜率

项有无变化？

（5）若解释变量所受教育水平的度量单位由年改为月，估计的截距项与斜率项有无变化？ 2、解：

（1）???N为接受过N年教育的员工的总体平均起始薪金。当N为零时，平均薪金为?，因此?表示没有接受过教育员工的平均起始薪金。?是N每变化一个单位所引起的E的变化，即表示每多接受一年教育所对应的薪金增加值。

?满足线性性、无偏性及有效性，因为这些性质的的成立无需?和仍?（2）OLS估计量?随机扰动项?的正态分布假设。

（3）如果?t的分布未知，则所有的假设检验都是无效的。因为t检验与F检验是建立在?的正态分布假设之上的。

（4）考察被解释变量度量单位变化的情形。以E*表示以百元为度量单位的薪金，则

E?E*?100????N??

由此有如下新模型

E*?(?/100)?(?/100)N?(?/100)

或 E*??*??*N??*

这里?*??/100，?*??/100。所以新的回归系数将为原始模型回归系数的1/100 （5）再考虑解释变量度量单位变化的情形。设N*为用月份表示的新员工受教育的时间长度，则N*=12N，于是

E????N??????(N*/12)??

或 E???(?/12)N*??

可见，估计的截距项不变，而斜率项将为原回归系数的1/12。

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3、假设模型为Yt????Xt??t。给定n个观察值(X1,Y1)，(X2,Y2)，?，(Xn,Yn)，按如下步骤建立?的一个估计量：在散点图上把第1个点和第2个点连接起来并计算该直线的斜率；同理继续，最终将第1个点和最后一个点连接起来并计算该条线的斜率；最后对

?，即?的估计值。 这些斜率取平均值，称之为??的代数表达式。 （1）画出散点图， 推出??的期望值并对所做假设进行陈述。（2）计算?这个估计值是有偏还是无偏的？解释理由。

（3）判定该估计值与我们以前用OLS方法所获得的估计值相比的优劣，并做具体解释。 解：

（1）散点图如下图所示。

（X2,Y2） （Xn,Yn）

（X1,Y1）

首先计算每条直线的斜率并求平均斜率。连接(X1,Y1)和(Xt,Yt)的直线斜率为

(Yt?Y1)/(Xt?X1)。由于共有n－1条这样的直线，因此

1t?nYt?Y1???] ?[n?1t?2Xt?X1

（2）因为X非随机且E(?t)?0，因此

E[Yt?Y1(???Xt??t)?(???X1??1)???1]?E[]???E[t]??

Xt?X1Xt?X1Xt?X1这意味着求和中的每一项都有期望值?，所以平均值也会有同样的期望值，则表明是无偏的。

（3）根据高斯－马尔可夫定理，只有?的OLS估计量是最佳线性无偏估计量，因此，

?的有效性不如?的OLS估计量，所以较差。 这里得到的?

4、对于人均存款与人均收入之间的关系式St????Yt??t使用美国36年的年度数据得如下估计模型，括号内为标准差：

?=384.105+0.067YStt(151.105)（1）?的经济解释是什么？

(0.011)

??19.0R2＝0.538 ?92 3（2）?和?的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，你

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可以给出可能的原因吗？ （3）对于拟合优度你有什么看法吗？

（4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。同时对零假设和备择假设、

检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。你的结论是什么？ 4、解：

（1）?为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加1美元时人均储蓄的预期平均变化量。

（2）由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储蓄为负，因此?符号应为负。储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加而增加，因此预期?的符号为正。实际的回归式中，?的符号为正，与预期的一致。但截距项为正，与预期不符。这可能是模型的错误设定造成的。如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄行为，省略该变量将对截距项的估计产生了影响；另外线性设定可能不正确。

（3）拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中53.8%的拟合优度，表明收入的变化可以解释储蓄中53.8 %的变动。

（4）检验单个参数采用t检验，零假设为参数为零，备择假设为参数不为零。在零假设下t 分布的自由度为n-2=36-2=34。由t分布表知，双侧1%下的临界值位于2.750与2.704之间。斜率项的t值为0.067/0.011=6.09，截距项的t值为384.105/151.105=2.54。可见斜率项的t 值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝斜率项为零的假设，但不拒绝截距项为零的假设。

5、现代投资分析的特征线涉及如下回归方程：rt??0??1rmt??t；其中：r表示股

票或债券的收益率；rm表示有价证券的收益率（用市场指数表示，如标准普尔500指数）；

t表示时间。在投资分析中，?1被称为债券的安全系数?，是用来度量市场的风险程度

的，即市场的发展对公司的财产有何影响。依据1956~1976年间240个月的数据，Fogler和Ganpathy得到IBM股票的回归方程（括号内为标准差），市场指数是在芝加哥大学建立的市场有价证券指数。

?t?0.7264?1.0598rmt R2?0.4710 r (0.3001) (0.0728) 要求：

（1）解释回归参数的意义； （2）如何解释R？

（3）安全系数??1的证券称为不稳定证券，建立适当的零假设及备选假设，并用t检

验进行检验（??5%）。

（1）回归方程的截距0.7264表示当rm?0时的股票或债券收益率，本身没有经济意义；

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回归方程的斜率1.0598表明当有价证券的收益率每上升（或下降）1个点将使得股票或债券收益率上升（或下降）1.0598个点。

（2）R2为可决系数，是度量回归方程拟合优度的指标，它表明该回归方程中47.10%的股票或债券收益率的变化是由rm变化引起的。当然R2?0.4710 也表明回归方程对数据的拟合效果不是很好。

（3）建立零假设H0:?1?1，备择假设H1:?1?1，??0.05，n?240，查表可得临界值t0.05(238)?1.645，由于t???11.0598?1?1S???10.0728?0.8214?1.645，所以接受零假

设H0:?1?1，拒绝备择假设H1:?1?1。说明此期间IBM股票不是不稳定证券。

6、假定有如下的回归结果：Yi?2.6911?0.4795Xi，其中，Y表示美国的咖啡的消费量（杯数/人天），X表示咖啡的零售价格（美元/杯）。 要求：

（1）这是一个时间序列回归还是横截面回归？

（2）如何解释截距的意义，它有经济含义吗？如何解释斜率？ （3）能否求出真实的总体回归函数？

（4）根据需求的价格弹性定义：弹性=斜率×（X/Y），依据上述回归结果，你能求出对

咖啡需求的价格弹性吗？如果不能，计算此弹性还需要其他什么信息？

解：

（1）这是一个横截面序列回归。

（2）截距2.6911表示咖啡零售价为每磅0美元时，每天每人平均消费量为2.6911杯，

这个数字没有经济意义；斜率-0.4795表示咖啡零售价与消费量负相关，价格上升1美元/磅，则平均每天每人消费量减少0.4795杯； （3）不能；

（4）不能；在同一条需求曲线上不同点的价格弹性不同，若要求出，须给出具体的X值

及与之对应的Y值。

??7、若经济变量y和x之间的关系为yi?A(xi?5)2ei，其中A、?为参数，?i为随机误差， 问能否用一元线性回归模型进行分析？为什么？ 解：能用一元线性回归模型进行分析。因为:

?ln(xi?5)??i

2? lnA??0、 ??1、 ln(xi?5)?xi? 令lnyi?yi?、2可得一元线性回归模型：yi? ??0 ??1xi???i

对方程左右两边取对数可得：lnyi?lnA?? 13

8、上海市居民1981~1998年期间的收入和消费数据如表所示，回归模型为

yi??0??1xi??i，其中，被解释变量yi为人均消费，解释变量xi为人均可支配收入。试

用普通最小二乘法估计模型中的参数?0,?1，并求随机误差项方差的估计值。

上海市居民1981~1998年间的收入和消费数据

年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 可支配收入 630 650 680 830 1070 1290 1430 1720 1970 消费 580 570 610 720 990 1170 1280 1640 1810 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 可支配收入 2180 2480 3000 4270 5860 7170 8150 8430 8770 消费 1930 2160 2500 3530 4660 5860 6760 6820 6860 解：

列表计算得

x?3365.556 y?2802.778?y??116951422.22?xi?1nn

??xi?12?148063044.44据此可计算出

???1?y??x??xi?1i?1n2n?116951422.22?0.789876148063044.44

??y???x?01 ?2802.778?0.789876?3365.556 ?144.4067?i?144.4067?0.789876回归直线方程为 ：yxi

进一步列表计算得：这里,n=18，所以：

?ei?1n2i?153857.8

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