概率论与数理统计浙大四版习题答案第四章(3)

=α2EX 2－βEY 2－α2 (EX ) 2+β(EY ) 2=α2DX－β 2DY=(α2－β 2) σ 2

DZ1=α2DX+β 2DY=(α2+β 2) σ 2, DZ2=α2DX+β 2DY=(α2+β 2) σ 2,

(利用数学期望的性质2°3°)

故ρZ1Z2?Cov(Z1,Z2)DZ1?(α(α22?β)?β)22DZ

2

229．[二十三] 卡车装运水泥，设每袋水泥重量（以公斤计）服从N（50,2.5）问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05.

解：已知X～N（50,2.52）不妨设最多可装A袋水泥才使总重量超过2000的概率不大于0.05.则由期望和方差的性质得Y=AX～N（50A,2.52A）.故由题意得

P {Y≥2000}≤0.05?P{Y?2000)?0.95 即 ????2000?50A?2000?50A??0.95查表得?1.65解得A≥39. ?2.5A2.5A??30.[三十二] 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间的概率p.

解：由题意知μ=7300,σ=700，则由契比雪夫不等式

P{5200?X?9400}?P{|X?7300|?2100}?1?700210022?1?18??0.8889 9931.[三十三]对于两个随机变量V,W若E(V2 )E (W2 )存在,证明[E (VW)]2≤E (V2 )E (W 2 )这一不等式称为柯西施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式.

证明：由|VW|?1(V22?W)和关于矩的结论，知当E (V), E (W )存在时E (VW)，

22 2

E(V ), E(W ), D (V ), D (W ),都存在.当E (V2 ), E (W 2 )至少有一个为零时，不妨设E (V2 )=0，

由D (V )= E (V2 )－[E (V )]2≤E (V2 )=0知D (V )=0，此时[E (V )]2 = E (V2 )=0即E (V )=0。再由方差的性质知P (V=0)=1.又(VW?0)?(V?0)故有P (VW=0)=1.于是

2 2

E(VW)=0，不等式成立. 当E (V)>0，E (W )>0时，对?t?0

有E (W－tV)= E (V) t－2 E(VW)t+ E (W )≥0.(*)

(*)式是t的二次三项式且恒非负，所以有?=[－2 E(VW )] 2－4 E (V2 ) E (W 2 ) ≤0 故Cauchy-Schwarz不等式成立。

[二十一（]1）设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且有E (Xi )=i, D (Xi )=5－i, i=1,2,3,4。设Y=2 X1－X2+3X3－

2 2 2 2

1X4，求E (Y)，D (Y)。 251

（2）设随机变量X，Y相互独立，且X～N（720，30），Y～N（640，25），求Z1=2X+Y，

22

Z2=X－Y的分布，并求P {X>Y }, P {X+Y>1400 }

解：（1）利用数学期望的性质2°，3°有 E (Y )= 2E (X1 )－E (X2 )+3 E (X3 )－利用数学方差的性质2°，3°有

D (Y )=2 D (X1 )+ (－1) D (X2 )+3 D (X3 )+(?2

2

2

1E (X4 )=7 212

) D (X4 )=37.25 2（2）根据有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，知 Z1～N（· ，·），Z2～N（· ，·） 而E Z1=2EX+Y=2×720+640, D (Z1)= 4D (X )+ D (Y )= 4225 E Z2=EX－EY=720－640=80, D (Z2)= D (X )+ D (Y )= 1525 即 Z1～N（2080，4225）， Z2～N（80，1525） P {X>Y }= P {X－Y >0 }= P {Z2>0 }=1－P {Z2 ≤0 } =1?????0?80??80???????0.9798 ?1525???1525?P {X+Y >1400 }=1－P {X+Y ≤1400 } 同理X+Y～N（1360，1525）

则P {X+Y >1400 }=1－P {X+Y ≤1400 } =1?????1400?1360???0.1539 ?1525??[二十二] 5家商店联营，它们每周售出的某种农产品的数量（以kg计）分别为X1，X2，X3，X4，X5，已知X1～N（200，225），X2～N（240，240），X3～N（180，225），X4～N（260，265），X5～N（320，270），X1，X2，X3，X4，X5相互独立。

（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差；

（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品？

5解：（1）令Y??Xi?1i为总销售量。

已知E X1=200，E X2=240，E X3=180，E X4=260，E X5=320， D (X1)=225，D (X2)=240，D (X3)=225，D (X4)=265，D (X5)=270， 利用数学期望的性质3°有

52

5E(Y)??E(Xi?1i)?1200

利用方差的性质3°有

5D(Y)??D(Xi?1i)?1225

（2）设商店仓库储存a公斤该产品，使得

P {Y ≤ a}>0.99

由相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，并注意到（1），得

Y～ N（1200，1225）

?a?1200?P{Y?a}?????0.99

35??查标准正态分布表知

a?1200?2.3335 a?1281.55∴ a至少取1282.

53

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