概率论与数理统计浙大四版习题答案第四章

第四章

2.[二] 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E (X)。（设诸产品是否是次品是相互独立的。）

解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ

P=P（调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]1－0.7361=0.2639.

04

因此X表示一天调整设备的次数时X～B(4, 0.2639). P (X=0)=?×0.2639×0.7361???查二项分布表

?4??0?=0.2936.

?4??4?1322P (X=1)=?×0.2639×0.7361=0.4210, P (X=2)= ×0.2639×0.7361=0.2264. ????1??2????4?3

P (X=3)=?0.2639×0.7361=0.0541, P (X=4)= ?3??×

?????4?0

0.2639×0.7361=0.0049.从而 ??4??×??E (X)=np=4×0.2639=1.0556

3.[三] 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E (X)。

∵ 事件 {X=1}={一只球装入一号盒，两只球装入非一号盒}+{两只球装入一号盒，一只球装入非一号盒}+{三只球均装入一号盒}（右边三个事件两两互斥）

∴

1?3?3?1?37?1?P(X?1)?3?????3????????

4?4?4?4?64?4?223∵事件“X=2”=“一只球装入二号盒，两只球装入三号或四号盒”+“两只球装二号盒，一只球装入三或四号盒”+“三只球装入二号盒”

∴

1?2?2?1?19?1?P(X?2)?3?????3????????

4?4?44464????1?1?1?1?7?1?P(X?3)?3?????3????????

4?4?4?4?64?4?223223同理：

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1?1? P(X?4)????464??E(X)?1?37197125 ?2??3??4??64646464163故

5.[五] 设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为

1?x,0?x?1500?(1500)2???1f(x)??(x?3000),1500?x?1500 2(1500)?其他?0??求E (X) 解：E(X)????????15000xf(x)dx

x(1500)2x?dx??30001500x?(3000?x)(1500)2dx ?1(1500)233?x15001x?30002 ?1500x?2?33?01500(1500)???1500(分)6.[六] 设随机变量X的分布为

求 E (X)， E (3X+5) 解：

E (X)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2 E (X2)= (－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8 E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.4

2

X Pk

－2 0.4

0 0.3

2 0.3

7.[七] 设随机变量X的概率密度为

?e?x,x?0f(x)??

0,x?0?求（1）Y=2X

（2）Y=e－2x的数学期望。

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解：（1）E(y)??????2xf(x)dx????02xe?xdx

???2xe?x?2e?x????2x??0?2

（2）E(Y)????ef(x)dx????0e?2xe?xex

??1?3x?1e? 3308.[八] 设（X，Y）的分布律为

X Y －1 0 1 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0 0.1 3 0 0.3 0.1

(1) 求E (X)，E (Y )。 (2) 设Z=Y/X，求E (Z )。 (3) 设Z= (X－Y )2，求E (Z)。

解：（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为

X Y －1 0 1 1 0.2 0.1 0.1 0.4 －1 2 0.1 0 0.1 0.2 3 0 0.3 0.1 0.4 0.3 0.4 0.3 1 0 1/3 E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4 =0.4+0.4+1.2=2. E(Y)= (－1)×0.3+0×0.4

+1×0.3=0.

（2） Z=Y/X －1/2 －1/3 1/2 1 pk 0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1

E (Z )= (－1)×0.2+(－0.5)×0.1+(－1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1 = (－1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15. （3）

Z (X－Y)2 0 (1-1)2 4 9 (1- 0)2或(2-1)2 (2- 0)2或(1- (-1))2或(3-1)2 (3- 0)2或(2-(-1))2 1 16 (3-(-1))2 0 pk 0.1 0.2 0.3 0.4

E (Z )=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=5

10.[十] 一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为

?1?1x4?,x?0工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售f(x)??4e?0,x?0?

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一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢 利的数学期望。

1解：一台设备在一年内损坏的概率为P(X?1)?4?14?14?10e?14xdx??e?x410?1?e?14

故P(X?1)?1?P(X?1)?1?(1?e则

)?e.设Y表示出售一台设备的净赢利

?(?300?100)??200,(X?1) Y?f(X)??100,(X?1).??14故 E(Y)?(?200)?P(X?1)?100?P(X?1)??200?200e ?300e?14?100e?14

?200?33.64

11.[十一] 某车间生产的圆盘直径在区间（a, b）服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。

解：设X为圆盘的直径，则其概率密度为

?1?,x?(a,b)f(x)??b?a

?0,其它.?用Y表示圆盘的面积，则Y???12πX,从而 4E(Y)????1π2πxf(x)dx?44?ba(b?a)1ππ222xdx???(a?ab?b).b?a4(b?a)31233

12.[十三] 设随机变量X1，X2的概率密度分别为

?2e?2x,f1(x)???0x?0x?0?4e?4x,x?0f2(x)??

,x?0?0求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3X22)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2) 解：（1）E(X1?X2)?E(X1)?E(X2)??1?????0x?2e?2xdx???0x?4e?4xdx

?2x?2x?4x?4x?e??xe?e??? =??xe ??24244??0???01??113 44

（2）E(2X1?3X22)?2E(X1)?3E(X22)?2?1?3?2?0x?4e2?4xdx

=1?3??x2e?4x???x?4x1?4x??35 e?e?1???2888?0111 ??248 （3）E(X1X2)?E(X1)?E(X2)?13.[十四] 将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X )

解：引进随机变量Xi???1?0第i号盒装第i号球第i号盒装非i号球

i=1, 2, ? n

n 则球盒对号的总配对数为X?Xi的分布列为

n?i?1Xi

Xi: P: 1 1 n0 n?1 n

E(Xi)1 ni=1, 2 ?? n

n∴ E(X)?E(?Xi)?i?1?i?1E(Xi)?n?1n?1 i=1, 2 ?? n

14.[十五] 共有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设抽取钥匙是相互独立的，等可能性的。若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望。

（1）写出X的分布律，（2）不写出X的分布律。 解：（1）

X P 1 1 n2 n?11? nn?13 n?1n?21?? nn?1n?2??n ??1 n E(X)?1?1111?2???nn?1?2????n??? nnnn2（2）设一把一把钥匙的试开，直到把钥匙用完。

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