概率论与数理统计浙大四版习题答案第四章(2)

设 Xi???i第i次试开能开门?0第i次试开不能开门 i=1, 2 ?? n

n则试开到能开门所须试开次数为X?Xi P i ?i?1Xi

∵

0 n?1 n

E (Xi)=i?n?1n?211 ????nn?1n?in1 ni=1, 2??n

nn∴ E(X)??i?1E(Xi)??i?1i12nn?1 ???????nnnn215. （1）设随机变量X的数学期望为E (X)，方差为D (X)>0，引入新的随机变量（X*称为标准化的随机变量）：X*?验证E (X* )=0，D (X* )=1

（2）已知随机变量X的概率密度。

?1?|1?x|,f(x)??,?00?x?2其它,X?E(X)D(X)

求X*的概率密度。 解：（1）E(X*)?E[X?E(X)D(X)]?1D(X)[E(X)?E(X)]?0

?X?E(X22

D (X* )= E [X*－E (X )* ]]= E (X* )= E?D(X)??)?? ??2 = （2）E(X)?2112E[X?E(X)]??D(X)?1 D(X)DX20?x[1?|1?x|]dx?202?10x[1?(1?x)]dx??21x[1?(1?x)]dx?1

E(X)?

?x[1?|1?x|]dx??10x[1?(1?x)]dx2??217x[1?(1?x)]dx?62

46

D(X)?E(X)?[E(X)]22?71?1?66

X*?X?E(X)DX?X?116

FX*(y)?P(X*?y)?P(X?116?y)?P(X?161y?1)??6??y?1f(x)dx

??0?1y_1? ???6[1?|1?x|]dx0??1??当16y?1?0,即y??6时1616y?1?2,即?6?y?6时

当0?当2?y?1,即6?y时11?y?1)|??{1?|1?( gX*(y)??66?0??6?y?6

y为其他值16.[十六] 设X为随机变量，C是常数，证明D (X )

证明：∵ D (X )－E (X－C )2 = D (X2 )－[E (X )]2－[E (X2 )－2CE (X2 )+C2 =－{[E (X )]－2CE (X )+C} =－[E (X )－C ] 2<0，

∴当E (X )≠C时D (X )< E (X－C )2

1?x??eθ,x?017. 设随机变量X服从指数分布，其概率密度为f(x)??θ其中θ>0是常

??0,x?02

2

2

数，求E (X )，D (X )。

解：

E(X)????01?θxedx?θx???0xd(?e?xθ)??xe?xθ??0????0e?xθdx?0?(?θe?xθ)??0?θ

47

又E(X2)?1θ??0xe2?xθ令t?dxxθθ2??0te2?tdt?2θ2

D (X )= E (X 2 )－E 2 (X )=2θ2－θ2=θ2

21．设X1, X2 ,?, Xn是相互独立的随机变量且有E(Xi)?μ,D(Xi)?σ2,i=1,2,?, n.

1记X?n?Xi，S21?n?(Xi?X).（1）验证E(X)?μ,D(X)?2σ2.（2）验证

ni?1n?1i?1nnS2?1?n?1?X22?i?nX?.（3）验证E (S 2 ) ??i?1?nnn证明：（1）E(X)?E(1n?X1i)?i)?i?1n?E(X1i?1n?μ?μ

i?1(利用数学期望的性质2°，3°)

nn2D(X)?D(1,?,Xn相互独立1nn?XX1i)X2i)?1??i?1n2?D(i?1n2??i?1n

(利用方差的性质2°，3°)

nn（2）首先证?(X2i?X)??X2i?nX2

i?1i?1nnnn?(X2i?X)??(X2i?2X2iX?X)??X2i?2?XiX?nX2i?1i?1i?1i?1nn

??X2222i?2nX?X?nX??Xi?nX.i?1i?1nn于是S2?1?2?2n?1?Xi?nX2??1??i?1?n?1?(Xi?X)

i?1nn（3）E(S2)?E[12n?1?(X122i?X)]?n?1E(?Xi?nX)

i?1i?1n ?1?n?1?E(X2i)?nE(X2)?? ??i?1? 48

n?1?22 ?(D(X)?E(X)?n(D(X)?E(X))?? iin?1?i?1??1[nσ ?n?12?nμ2?n(σ2n?μ)]?σ22

23．[二十五] 设随机变量X和Y的联合分布为：

X Y －1 0 1 －1 1 81 81 80 1 81 1 81 81 80 1 8

验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。 证：∵

P [X=1 Y=1]=

1 8P [X=1]=

33 P [Y=1]= 88 P [X=1 Y=1]≠P [X=1] P [Y=1]

∴ X，Y不是独立的 又

E (X )=－1×+0×

383823+1×=0 88283=0 8 E (Y )=－1×+0×+1× COV(X, Y )=E{[X－E (X )][Y－E (Y )]}= E (XY )－EX·EY = (－1)(－1)

1111+(－1)1×+1×(－1)×+1×1×=0 8888∴ X，Y是不相关的

27．已知三个随机变量X，Y，Z中，E (X )= E (Y )=1, E (Z )=－1，D (X )=D (Y )=D (Z )=1, ρXY=0 ρXZ=

11，ρYZ=－。设W=X+Y+Z 求E (W )，D (W )。 22解：E (W )= E (X+Y+Z)= E (X )+ E (Y )+ E (Z )=1+1－1=1 D (W )= D (X+Y+Z)=E{[ (X+Y+Z)－E (X+Y+Z)]2} = E{[ X－E (X )]+[ Y－E (Y )]+Z－E (Z )}2

= E{[ X－E (X )]2+[ Y－E (Y )]2+ [Z－E (Z )]2+2[ X－E (X )] [ Y－E (Y )]

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+2[ Y－E (Y )] [Z－E (Z )]+2[Z－E (Z )] [ X－E (X )]}

= D (X )+D (Y )+D (Z )+2 COV(X, Y )+ 2 COV(Y, Z )+ 2 COV(Z, X ) = D (X )+D (Y )+D (Z )+2D(X)D(Y)ρ +2D(Z)D(X)ρ1ZXXY?2D(Y)D(Z)ρXZ

=1+1+1+2×1?1?0?21?1(?1) 2 ?21?1()?3

226.[二十八] 设随机变量（X1，X2）具有概率密度。

f(x,y)?1(x?y)， 0≤x≤2, 80≤y≤2

X1X2求 解：

E (X1)，E (X2)，COV（X1，X2），ρE(X2)?E(X2)?D(X1?X2)

??2020dxdx??2020x?y?17 (x?y)dy?8617 (x?y)dy?86COV(X1X2)?E{(X1?77)(X2?)} 66 ??20dx?(x?0276)(y?276)?18(x?y)dy??2136

D(X1)?E(X)?[E(X1)]?212?20dx?0111?7? x?(x?y)dy????8636??2D(X2)?E(X)?[E(X2)]?222?20dx?20111?7? y?(x?y)dy????836?6?22?XY?COV(X1,X2)DX1??1DX2136?? 111136D (X1+X2)= D (X1)+ D (X2)+2COV(X1, X2) =

111115??2?(?)? 363636928.[二十九]设X～N（μ，σ 2），Y～N（μ，σ 2），且X，Y相互独立。试求Z1= αX+βY和Z2= αX－βY的相关系数（其中?,?是不为零的常数）.

解：由于X，Y相互独立

Cov(Z1, Z2)=E(Z1,Z2)－E(Z1) E(Z2)=E (αX+βY ) (αX－βY )－(αEX+βEY ) (αEX－βEY )

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