马斯克莱尔 答案(5)

角线上。对应的偏好为里昂惕夫型。如下图所示：

(e)根据(d)可得，固定x3，x1,x2的偏好为min{x1,x2}。而且x1,x2不存在财富效应，所以有换。 3.g.7

由效用最大化问题一阶条件，有??0使得?g(x)??u(x).等式两边同乘以x，得：

?xg(x)?x?u(x).因为w=1,所以xg(x)=1,所以，??x?u(x).所以

，或者是该函数的一个单调变

g(x)???1?u(x)?1?u(x)

x?u(x)根据习题3.d.8，?v(p,1)/?w??p??pv(p,1).根据罗伊恒等式：

x(p)??11?pv(p,1)??pv(p,1)

?v(p,1)/?wp??pv(p,1)

3.G. 8B 若对于α＞0，有v(p, αw)= v(p, w) + lnα [换句话说，v(p, w)= ln(v*(p, w) )，

式中v*(p, w)是一次齐次的]，则间接效用函数是对数性齐次的。证明：若v(·)j是对数性齐次的，则x(p,1) =-?pv(p,1)。 证明：

等式v (p, αw) = v (p, w) + lnα两边对α求微分，并在α =1处取值，那么我们得到

(v (p, w) / ?w) w = 1 因此?v (p, 1) / ?w =1

由于v(·)j是对数性齐次的，根据罗尔恒等式，如v (p, w)在点(p,w)是可导且?v(p,w) / ?w≠0，则有：

xi(p,w)= －

?v(p,w)/pi （i=1,2,…，L）

?v(p,w)/wi我们得到：x(p,1)=-?pv(p,1)

3.G..10 对于一个高曼型函数v(p,w)?a(p)?b(p)w而言，函数a()和b()必须具备哪些性质，才能使v(p,w)可以作为一个间接效用函数？

解：反证法，若使v(p,w)可以作为一个间接效用函数，则v(p,w)满足作为间接

效用函数的所有性质 ①首先证明a(p)是一个常数

v(p,w)是零次齐次 ?对任意p0w,??0?,，总有

如果存在p,?使得a(?p)?a(p)，但当w?0时，a(?p)?b(?p)?w?a(p)?b(p)w。

必有a(?p)?a(p) ，因此a(?p)?a(p)的假设被推翻。故a(p)是零次齐次的。

v(p,w)对于p是非增的 ?对任意p如果存在p 0,w?0必有?a(p)??b(p)w?0，

0，使得?a(p)/?pl?0，但当w?0时，必有?a(p)?0，因此

0，?a(p)?0

?a(p)/?p的假设被推翻。故对于任意pl?0

p对于任意??0，得到?a(p)p?0 又a(?p)?a(p) ?令??1时，

0，?a(p)?0 ??a(p)?0，a(p)必为常数

②接着证明b(p)具有负一次齐次性、拟凸性并满足对任意pb(p)?0以及?b(p)?0

0，并总有

根据①结论，可以发现b(p)具有负一次齐次性。由于v(p,w)具有拟凸性，所以b(p)是p的函数。最后，由于?pv(p,w)??b(p)w?0以及?wv(p,w)?b(p)，所以对任意p0，必有b(p)?0，?b(p)?0

综述所述，若使v(p,w)可以作为一个间接效用函数，a(p)必是一个常数；

b(p)具有负一次齐次性、拟凸性并满足对任意p?b(p)?0

0，并总有b(p)?0以及

3.G..11 证明：高曼型间接效用函数具有线性财富扩展曲线。 证明：假设高曼型间接效用函数形式为v(p,w)?a(p)?b(p)w， 利用罗伊恒等式：x(p,w)???pV(p,w)?wV(p,w)，

得到x(p,w)???pa(p)??pb(p)wb(p)??(1w)?pa(p)?()?pb(p) b(p)b(p)1)?pa(p)的截距线性扩展 b(p) 因此这条财富扩展曲线沿着?pb(p)的方向、?(3．G．12 要使高曼型间接效用函数对应于位似偏好和拟线性偏好，必须对它施加哪些限制？

我们注意到：根据习题3.G.11，财富扩展路径是线性的，即：

x(p,w)=-（-1/b(p)▽pa(p) -（w/b(p)▽pb(p),.

（1）如果偏好是位似的，则（-1/b(p)▽pa(p)=0，因此a(p)必须是个固定函数；如果效用函数对w是一次齐次的,则v(p,w)一定是一次齐次的，因此对每一个p>>0, a(p)=0。 （2）如果偏好对商品1是拟线性的，请回到习题3.G.10最后解答的一段附文中，看过后会发现，因为商品2，…，L的需求跟无关，即（-1/b(p)▽pa(p)=（-1/p1，0，…，0）或者(?b(p)/?p1)/b(p)?1/p1，?b(p)/?pl?0(l?1) ,可得

b(p)??1?p??(??0,??，0??R)，可是，根据3.G.10，b(p)是-1次齐次的，正值且非递增的，从而?=-1，?=0，??0，也就是说，b(p)??/p1(??0)。如果效用函数的偏好是x1?u(x2必须是w??(p2,xL)拟线性的形式，那么，根据3.D.4(b),v(p,w)也

,pL)(p0,p1?1)，因此??1。

3．G．14下面的矩阵记录了一个具有理性偏好，并且在价格p1 =1，p2 =2，p3 =6消费三种商品的消费者的（瓦尔拉斯）需求替代效应：

-10 ？ ？

？ -4 ？

3 ？ ？

填上空缺的数字，最后得到的矩阵具有替代矩阵的所有性质吗？ 首先将原来矩阵写成：

-10 a b

c -4 d

因为替代矩阵是对称的，则3 e f b=3,a=c,e=d.，根据命题2.F.3，p?s(p,w)?0

第一行：p1(?10)?p2c?p3(3)?0?c??4,a?c??4 第二行：p1(?4)?p2(?4)?p3e?0?e?2,d?e?2 第三行：p1(3)?p2(2)?p3f?0?f??7/6

最后矩阵可以写为： -10 -4 3 -4 -4 2 3 2 -7/6

这个矩阵满足替代矩阵的所有性质，它是对称的，半负定的，

p?s(p,w)?0。

3.G.16C 考虑支出函数：

? e(p,u)?exp???llogpl?(?pl?l)u?

l?l（a） 要使它可由效用最大化导出，应对?1,...,?n,?1...,?n施加哪些限制？ （b） 找出与之相对应的间接效用函数。

（c） 验证罗伊恒等式和斯拉茨基方程。

解答：

（a） 容易验证： ?e(p,u)/?pk?e(p,u)(?k?u?k(由于且

?lp?l))/pk

le(p,u)在p上是非递减的，因此对于所有的(p,u)其一定是非负的。但若?k?0，

p充分小，e(p,u)即变为负值。同样，若?k?0且p充分大，e(p,u)变为负值。

因此， （1）

?k?0且?k?0，对于所有的k。 稍作处理，有：

e(?p,u)???lexp((?l?llnpl)???lu(?lpl?l)),???e(p,u)??exp((?l?llnpl)?u(?lpl))?l

由于e(p,u)在p上是一次齐次的，因此对于每个(p,u)和??0其都是相等的。例如，

p?(1,...1)和u?1，就有：

因此： （2）

loge(p,u)?(?l?l)log????l,?对于每个??0必相等。

log?e(p,u)?log??1??ll?1,?l?l?0 于是有： ??ll?1,?l?0,?l?0

因此支出函数取简化形式： （3） e(p,u)?(expu)(?lpl?l);?l?l?1,?l?0

此式在u上是递增的，在 p上是凹的。

vp(w,))l(llp，因此 （b） 根据等式（3.E.1）， w?(exp（4） v(p,w)?logw?????lllogpl

（c）通过 e(p,u对p求微分，可得： ）h(p,u)?e(p,u)(?1/p1,...?L/pL)

因此x(p,w)?h(p,v(p,w))，且e(p,v(p,w))?w （5）

x(p,w)?w(?1/p1,...?L/pL)

利用方程（3）和（4）、（5），并依照习题3.G.2同样的方法可验证罗伊等式和斯拉茨基方程。

3.G.17B （题目中的印刷错误已改正）假定L=2.考虑定义在价格—财富对(p,w)某领域上的一个“局部”间接效用函数：

v(p,w)?exp(?bp1/p2)[w1p1a?(a??c)] p2bp2b（a） 证明：对第一种商品的局部需求函数为

x1(p,w)?a（b） 证明：局部支出函数为

p1w?b?c p2p21ae(p,u)?p2uexp(bp1/p2)?(ap1?p2?cp2)

bb（c） 证明： 对第一种商品的局部希克斯需求函数为

ah1(p,u)?ubexp(bp1/p2)?

b解答： （a） 利用

?v(p,w)?/1p???21p(a?1p/2pbw/2?p)cex?p(1bpp),2/ ?1?v(p,w)?/w?2pexp?(1bp2/p) 再利用罗伊等式即可。

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