马斯克莱尔 答案(4)

3.E.9(续)接下来，利用3.E.1证明命题3.E.2蕴含着命题3.D.3。以下假定p??0，p???0，w?R，w??R，并且??0。(i)零次齐次性:对于任意??0，令u?v(p,w)，根据3.E.1中的关系，e(p,u)?w。因而v(?p,?w)?v(?p,?e(p,u))?v(?p,e(?p,u))?u。其中第二个等号根据e(?,?)的一次齐次性，第三个等号是3.E.1中的关系。(ii)单调性：考虑w?w?，令u?v(p,w)，u??v(p,w?)。则e(p,u)?w，e(p,u?)?w?。根据e(?,?)关于u严格递增，可知u?u?，即v(p,w?)?v(p,w)。考虑p??p，令u?v(p,w)，u??v(p?,w)。则e(p,u)?e(p?,u?)?w。根据e(?,?)关于w和关于p的单调性，必定成立u??u（译者注：也省略了用反证法的说明过程），即v(p,w)?v(p?,w)。（iii）拟凸性：对于任意的??0，定义u?v(p,w)，u??v(p?,w?)。则e(p,u)?w，w??e(p?,u?)。不失一般性，假定u??u。令p????p?(1??)p?，w????w?(1??)w?。因而成立e(p??,u?)??e(p,u?)?(1??)e(p?,u?)??e(p,u)?(1??)e(p?,u?)??w?(1??)w??w??,其中第一个不等式根据e(?,?)的凹性，第二个不等式根据e(?,?)在u上的单调性。因此，有u??v(p??,w??)，满足拟凸性的定义。(译者注：即e(?,?)的上等值集为凸集)（iv）连续性：要证明的是对于任何的序列(pn,wn)???n?1，(pn,wn)?(p,w)以及任意的w，如果对于任意的n，满足v(pn,wn)?u，那么v(p,w)?u；如果对于任意的n，满足v(pn,wn)?u，那么v(p,w）?u。假设对于任意n，v(pn,wn)?u，根据e(?,?)在w上的单调性，以及3.E.1的关系，成立wn?e(pn,u)。根据e(?,?)的连续性，有w?e(p,u)。再根据v(?,?)在w上的单调性，以及3.E.1的关系，成立v(p,w)?u。对于v(pn,wn)?u的情况，证明过程是相同的。（注意本页内容中的斜体字为解题所需的参考命题或习题，仅供参阅）

习题3.E.10B 利用（3.E.1）和（3.E.3）中的关系及间接效用函数和支出函数的性质证明：命题3.D.2蕴含着命题3.E.3。然后利用这些事实证明：命题3.E.3蕴含着命题3.D.2。 解答：首先证明命题3.D.2蕴含着命题3.E.3，以及（3.E.1）和（3.E.4）的关系。令

Lp?R??和u?R。

(i)齐次性：令α>0，定义w=e(p,u)，那么由3.E.1的 (ii)关系可知u=v(p,w)。所以，

其中第一个等式是h(?p,u)?x(?p,e(?p,u))?x(?p,?e(p,u))?x(p,e(p,u))?h(p,u)，

由（3.E.4）中的(i)关系得到的，第二个等号是由e(·,u)的齐次性得到的，第三个等号是由x(·,·)

的齐次性得出的，最后一个等号则是通过（3.E.4）中的(i)关系得到的。

(ii)没有额外的效用：给定(p,u)和x?h(p,u)，那么通过（3.E.4）中的(i)关系可以得到x?x(p,e(p,u))，因此通过（3.E.1）的(ii)关系可以得到u(x)?v(p,e(p,u))?u。 (iii)凸形/奇异性：这一证明是显而易见的。

然后，让我们证明命题3.E.3蕴含着命题3.D.2，以及（3.E.1）和（3.E.4）的关系。令

Lp?R??和w?R。

(i)齐次性：令α>0，定义w=e(p,u)，那么v(p,w)=u。所以x(αp, αw)=h(αp,v(αp, αw))=h(αp,v(p,w))=h(p,v(p,w))=x(p,w)。其中第一个等式是由（3.E.4）中的(ii)关系得到的，第二个等号是由v(·)的齐次性得到的，第三个等号是由h(·)对p是齐次性得出的，最后一个等号则是通过（3.E.4）中的(i)关系得到的。

(ii)瓦尔拉斯定律：给定(p,w)和x?x(p,w)。所以通过（3.E.4）的(ii)关系可以得到x?h(p,v(p,w))，因此通过希克斯需求函数的定义以及（3.E.1）的(i)关系可以得到

p·x=e(p,v(p,w))=w。

(iii)凸形/唯一性：这一证明是显而易见的。

命题3.E.1 假定u(·)是一个连续效用函数，它代表了定义在消费集X?R?上的局部非饱和的偏好关系，并且价格向量P>>0，则我们有：

L(i)如果当财富为w>0时，x*在UNP中是最优的，那么当要求达到效用水平u(x*)时，x*在EMP中就是最优的。而且，在这一EMP中的最小的支出水平正好就是w。

(ii)如果当要求达到的效用水平u>u(0)时x*，x*在EXP中就是最优的，那么当财富为p* x*时，x*在UMP中就是最优的。而且，在这一UMP中的最大效用水平正好就是U

命题3.E.4 假定u(·)是一个连续效用函数，它代表了一个局部非饱和的偏好关系，并且对于所有p>>0，h(p,u)由单一的元素组成，则希克斯需求函数h(p,u)满足补偿需求法则：对于所有p＇和p＇＇,有：

(p＇＇-p＇)*[h(p＇＇,u)-h(p＇,u)]≤0

（注意本页内容中的斜体字为解题所需的参考命题或习题，仅供参阅）

习题3.G.2B 验证：对于柯布-道格拉斯效用函数而言，3.G节中的所有性质均成立。

?1??x2，解答：从习题3.D.1和3.E.1中可知，对于效用函数U(x)=x1我们可以得到：

20???w/p1?，

?2??(1??)/p20????/p1?

?e(p,u)?u(p1/?)?(p2/(1??))1?????(1??)/p2???/p1?，

DWx(p,w)??Dpx(p,w)??(1??)/p2??Dpe(p,u)?Dph(p,u)?u(p1/?)(p2/(1??))?1??2???(1??)/p1?(1??)/p1p2? ?2???(1??)/p1p2??(1??)/p2??1???1??而U(x)=x1x2的间接效用函数为v(p,w)?(p1/?)(p2/(1??))w

(在这里请注意，从习题3.D.2中得到的间接效用函数对应的效用函数为

u(x)??lnx1?(1??)lnx2。)因此，?pv(p,u)?v(p,w)(??/p1,?(1??)/p2)，

2?wv(p,w)?v(p,w)/w，所以：h(p,u)??pe(p,u)，Dpe(p,u)?Dph(p,u)此矩阵

式负半定和对称的，Dph(p,u)p?0，Dph(p,u)p?Dpx(p,uw)?Dwx(p,w)x(p,w)T，

xl(p,w)??(?v(p,u)/?pl)/(?v(p,u)/?w)。

习题3.D.1证明柯布-道格拉斯效用函数导出的瓦尔拉斯需求函数的三个性质，即x(p,w)在(p,w)上具有零次齐次性，瓦尔拉斯定律以及凸性/唯一性 习题3.E.1 假定u(·)是可微的。证明EMP的一阶条件是：对于某一λ≥0，有p?λ?u(x?)以及x??[p-λ?u(x?)]?0

3. G.3 考虑习题3.D.6所给出的（线性支出系统）效用函数。

(a)推导希克斯需求函数及支出函数。验证命题3.E.2和3.E.3所列出的各项性质。 (b)证明支出函数的导数即为(a)中所导出的希克斯需求函数。 (c)验证斯拉茨基方程成立。

(d)验证：自替代项是负的，且补偿交叉价格效应是对称的。 (e)证明：S(p,w)是负半定的，且秩为2。

答案：(a)假设α+β+γ=1.因为lnu(x)??ln(x1?b1)??ln(x2?b2)??ln(x3?b3)。 根据指出最小化问题的一阶条件可得：

将上式代入p?h(p,u)，得到支出函数

。

，其中

验证支出函数的齐次性：验证单调性，假设

及

则

验证凹性，我们可以得到

=

2D2pe(p,u)是负半定的。另一个方法是将Dpe(p,u)中最后一行和最后一列删掉，

得到一个2×2的子矩阵，然后可验证该子矩阵是负半定的。然后由其次性可证

2明D2pe(p,u)p?0，继而得出Dpe(p,u)负半定。连续性则由函数形式直接得出。

下面验证希克斯需求函数的齐次性，

验证无超额效用，唯一性显而易见。 (b)计算(a)中的

。

，并与

。

比较，立即可得

(c)由(b)可得所以

，因为

且

，

。

利用上面的结论可以验证斯拉茨基方程。

(d)利用(e)因为

，

。

=，

负半定且秩为2，从而得到结论。

3.G.6 在一个三种商品的经济中（商品表示为x1,x2,x3；价格表示为p1,p2,p3），一个财富水位为w>0的消费者对商品1和商品2的需求函数为：

x1?100?5p1pw??2?? p2p3p3x2????p1pw??2?? p3p3p3式中的希腊字母为为零常数。

(a)说明如何计算对商品3的需求（但不必真正去计算）。 (b)对商品x1和商品x2的需求是齐次的吗？

(c)计算由效用最大化所蕴含的对α,β,γ和δ的数值的限制。

(d)给定你在(c)中的结果，针对一个固定水平的x3，在x1,x2平面上画出消费者的无差异曲线。

(e)你在（d）中的答案对于消费者效用函数u(x1,x2,x3)的形式而言意味着什么？ 答案：(a)使用瓦尔拉斯定律可得(b)是的。对任意的

下面的等式成立。

。

(c)因为斯拉茨基矩阵对称，所以

将p3?1代入上式并整理，可得

该等式对所有的p1,p2和w都成立，所以有所以有α=100，β=-5,γ=-5.所以

。

斯拉茨基矩阵对角线上所有元素均非负，所以?=0.令p3=1，则对角线上第一个元素为

若??1，则?2>0，则总可以找到一组(p1,p2,w)，使得上述值为正，所以?=0。所以

(d)在所有价格下x1?x2，所以x1?x2平面上的无差异曲线为L形曲线，拐点在对

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