马斯克莱尔 答案(3)

??????1而又不失一般性。

(b)运用另一个单调变换：lnu(x)??ln(x1?b1)??ln(x2?b2)??ln(x3?b3)，效用最大化的一阶条件为

x(p,?w)1(b,b)?w(23?,b?p?1b)(?2p/，,其p/中

,p/)pb?1p?b2p?bp个b需求函数加到u()上，我们得到间接效用函数。将这

v(p,w)?(w?pb)(?/p1)?(?/p2)?(?/p3)?

(c)

验

证

1需求函数的齐次性：

x(??(b1p,??,b2w)2?(b3?,b3?)?w?,b?(?p,b?1)?w1((2?p

?p/3?b)/p(?,p/?x/p,?b)p,验证瓦尔拉斯法则：

px(p,w)?pb?(w?pb)(p1?/p1,p2?/p2,p3?/p3)?pb?(w?pb)(?????)?w唯一性显而易见。

验证间接效用函数的齐次性：

v(?p,?w)?(?w??pb)(?/?p1)?(?/?p2)?(?/?p3)???1?(?????)(w?pb)(?/p1)?(?/p2)?(?/p3)??(w?pb)(?/p1)?(?/p2)?(?/p3)??v(p,w)验证单调性：

?v(p,w)/?w?(?/p1)?(?/p2)?(?/p3)??0

?v(p,w)/?p1?v(p,w)(??/p1)?0 ?v(p,w)/?p2?v(p,w)(??/p2)?0 ?v(p,w)/?p3?v(p,w)(??/p3)?0

连续性可由函数形式直接看出。 拟凸性的证明，可以证明，对于任意v?考虑lnv(p,w)??ln???ln?数函数是凹的，那么集合{p?，w>0，集合{p?3:v(p,w)?v}是凸的。

??ln??ln(w?pb)??lnp1??lnp2??lnp3，既然对

3:ln(w?pb)??lnp1??lnp2??lnp3?v}对于任意

v?是凸的。又因为其他项

3?lnp1??lnp2??lnp33不依赖p，所以集合

{p?:lnv(p,w)?v}是凸的，即{p?:v(p,w)?v}

=-

3.d.8（A），原题：证明对于所有的（p，w），均有

答案：根据定义3.D.3(i), 对于所有的>0, 两边对

求偏导，并令

均成立，将该式

=0，因此

=-

注：定义3.D.3(i), 假设u(是一个连续的效用函数，满足局部非饱和的偏好关系，则间接效用函数3.E.3 令

，

，定义

,因为

，故

是零次齐次的。

，进一步A是一个紧集。现在考虑一个被截断的EMP问题：

。因为p.x是一个连续函数，同时A是一个紧集，则这个EMP

问题一定有解，此解设为题的解。令解；若

3.E.4

（1）由于偏好

是凸的，令。令

定义

，由偏好的凸性，可知

EMP的可行选择，则（2）由偏好

。

是严格凸的，假设

，

令

，

可，且知，因，则

，则

;同时，则,则

是

，则

,若，

。下一步，我们需要证明同时也是初始EMP问

,则

,因为是被截断的EMP问题的

，因此为初始EMP问题的解。

，由于偏好的严格凸性，可知

为偏好是连续的，对任意属于（0,1）且足够趋于1的，可知

且

包含单一的元素。

，这与X是EMP问题的解相矛盾，因此只

3.E.5要证明上述结论，等价于证明：当p??0,u??0,???0,x?0时，如果x=h(p,u)，则?x?h(p,?u)。因为u(?x)??u(x)??u，所以，?x满足效用水平

L?1y?R?u(?y)?u u(y)??u?u达到时的支出最小化问题的限制。令，且，则

?1p?(?y)?p?x，因此，p?(y)?p?(?x) 因此，

所以，?x?h(p,?u)。得证。

根据这一结论，e(p,?u)?p?(?h(p,u))??(p?h(p,u))??e(p,u) 所以，支出函数是一次齐次的。

定义h(p)?h(p,1)，e(p)?e(p,1)，则h(p,u)?uh(p)，e(p,u)?ue(p)。 3.E.6令???/(??1)，于是，从支出最小化问题的拉格朗日方程求一阶偏导数，可以得到支出函数和希克斯需求函数，如下：

??(1??)/?(p1h(p,u)?u(p1?p2)??1??2,p2)

??1/?e(p,u)?u(p1?p2)

分别检验以下几个性质：首先对支出函数 1．在p上是一次齐次的。

??1/?e(?p,u)?u((?p1)??(?p2)?)1/?????1/?u(p1?p2)??e(p,u)

2．在u上是严格递增的，并且，对于任意的l，其在

pl上非递减。

??1/???1/??e(p,u)/?u?(p1?p2)?0?e(p,u)/?pl?upl??1(p1?p2)?0

3．在p上是凹的。

??2??1/??1??1??1/??2??1?2e(p,u)/?p12?u(??1)p1(p1?p2)?up1(p1?p2)(1/??1)?p1

??2?????u(1??)p1(p1?p?)1/??2(p1?(p1?p2))?02Dpe(p,u)p （??1）

2Dpe(p,u)因为单调性意味着

=0，所以，我们可以得出

是半负定的。

4．在p和u上是连续的。对于希克斯需求函数。在p上是零次齐次的。

h(?p,u)?u((?p1)??(?p2)?)(1??)/?((?p1)??1,(?p2)??1)??(1??)/???1??2??(?(1??)/?)?(??1)u(p1?p2)(p1,p2)

=h(p,u)

没有超额效用

??(1??)/?(??1)/?1/?u(h(p,u))?u(p1?p2)(p1(??1)/??p2)

因为(??1)/???1/?，所以可得u(h(p,u))?u。唯一性。唯一性是显而易见的。 3.E.7 证明若对商品1是拟线性的，则商品2，…，L的希克斯需求函数不依赖于u。在这一情形下，支出函数的形式是什么样的？

证明：任一个关于商品1的拟线性偏好可以用如下的效用函数来表示：u(x)=x1+u(x2, …,xL)。令e1=(1,0, …,0)∈（-∞，∞）×L。我们能够证明对于任一p＞＞0、p1=1,u∈，α∈和x∈（-∞，∞）×L－1如果X=h(p,u)，得x+αe1=h(p，u+α)。首先注意到u（x+αe1）≥u+α,得到x+αe1满足对于(p，u+α)的EMP约束。令y∈L、u(y) ≥u+α,得到u(y－αe1) ≥u。p·（y －αe1）≥p·x，p·y≥p·（x+αe1），x+αe1=h（p，u+α）

因此，对每一个l ∈（2, …，L），u∈，u＇∈，hl(p，u)= hl(p，u＇)。也就是说，对于商品2, …，L，希克斯需求函数独立于效用水平。这样，我们就能定义h(p)=h(p，0),h(p，u)= h(p)+ αe1

既然h(p, u+α)= h(p，u)+ αe1，我们可以得到e(p, u+α)=e(p，u)+ α。这样，如果我们定义e(p)= e(p，0)，可以得到e(p，u)= e(p)+ u。

3.E.8证明：对于科布-道格拉斯效用函数而言，（3.E.1）和（3.E.4）中关系成立。?1??科布-道格拉斯函数：u(x1,x2)?x1x2。考察上述关系，先求h,e。最优化问题：minp?xxs.t.u(x)?u。一阶条件为：??xu(x)?p。即：?-11??????1????x1x2?p1，?(1??)x1x2?p2。约束条件是x1x2?u。目的是求h,然后是e。h是关于价格和效用?-11??的函数，即要把x1、x2用p、u表示。利用约束条件，可得：??x1x2?p1???u?p1x1?x1???u/p1，????(1??)x1x2?p2?(1??)?u?p2x2?x2?(1??)?u/p2。因此，需要求出?。把x1???u/p1、?1??p1p2x2?(1??)?u/p2带入约束条件可得：???。?(1??)1???-11?????p1p2p1p2所以，h(p,u)?(?-1u，?u)。1???(1??)?(1??)???1???1???1??p1p2p1p2p1p2支出函数e?(?-1?)u?u。?(1??)1????(1??)????(1??)1??再求x,v，最优化问题：maxu(x)s.t.p??w。一阶条件为：?xu(x)??p。根据例3.D.1的结论，xx(p,w)?(?w/p1，(1??)w/p2)。间接效用函数v???(1??)(1??)?1??p1p2w。利用上述的h,e,x,v，验证3.E.1：e(p,v(p,w))?w，v(p,e(p,u))?u。验证3.E.3：x(p,e(p,u))???11?????p1p2p1p2(??1u,?u)?h(p,u)，h(p,v(p,w))?x(p,w)。1???(1??)?(1??)??3.E.9利用(3.E.1)中的关系证明：命题3.D.3中所确认的间接效用函数的性质蕴含着命题3.E.2。同样的，利用(3.E.1)中的关系证明：命题3.E.3蕴含着命题3.D.3。首先，利用3.E.1证明命题3.D.3蕴含着命题3.E.2。以下假定p??0，p???0，u?R，u??R，并且??0。(i)关于p 的一次齐次:令w?e(p,u)，根据3.E.1中的关系，u?v(p,w)。因此对于任意??0，e(?p,u)?e(?p,v(p,w))?e(?p,v(?p,?w))??w??e(p,u)。其中第二个等号根据v(?,?)的零次齐次性，第三个等号是3.E.1中的关系。(ii)单调性：考虑u?u?，令w?e(p,u)，w??e(p,u?)。则u?v(p,w)，u??v(p,w?)。根据v(?,?)关于w严格递增，可知w?w?，即e(p,u)?e(p,u?)。考虑p?p?，令w?e(p,u)，w??e(p?,u)。则u?v(p,w)?v(p?,w?)。根据v(?,?)关于w和关于p的单调性，必定成立w??w（译者注：书上答案此处省略了用反证法的说明过程），即e(p?,u)?e(p,u)。（iii）凹性：对于任意的??0，定义w?e(p,u)，w??e(p?,u)。则u?v(p,w)?v(p?,w?)。令p????p?(1??)p?，w????w?(1??)w?。根据v(?,?)的拟凸性，v(p??,w??)?u。因而，根据v(?,?)在w上的单调性以及3.E.1中的关系可知：w???e(p??,u)。因此，e(?p?(1??)p?,u)??e(p,u)?(1??)e(p?,u)。（iv）连续性：要证明的是对于任何的序列(pn,un)???n?1，(pn,un)?(p,u)以及任意的w，如果对于任意的n，满足e(pn,un)?w，那么e(p,u)?w；如果对于任意的n，满足e(pn,un)?w，那么e(p,u）?w。假设对于任意n，e(pn,un)?w，根据v(?,?)在w上的单调性，以及3.E.1的关系，成立un?v(pn,w)。根据v(?,?)的连续性，有u?v(p,w)。再根据v(?,?)在w上的单调性，以及3.E.1的关系，成立e(p,u)?w。对于e(pn,un)?w的情况，证明过程是相同的。

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