数列章末测试题(2)

18

∴a36＝a18＋a18＝2a18＝2(a9＋a9)＝4a9＝4(a1＋a8)＝4(9＋9)＝4. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)在公差不为零的等差数列{an}中，a1，a2为方程x2－a3x＋a4＝0的两实数根，求此数列的通项公式．

答案 an＝2＋(n－1)×2＝2n

18．(12分)等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.

解析 设数列{an}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d， a6＝a4＋2d＝10＋2d.a10＝a4＋6d＝10＋6d.

2

由a3，a6，a10成等比数列，得a3a10＝a6.

即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，

整理得10d2－10d＝0，解得d＝0或d＝1. 当d＝0时，S20＝20a4＝200； 当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7. 于是S20＝20a1＋

20×19

2d＝20×7＋190＝330.

19．(12分)某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.

试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ 1

(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的3？ 答案 (1)1 458辆 (2)2011年底

20．(12分)设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若{cn}是1,1,2，…，求数列{cn}的前10项的和．

解析 ∵c1＝a1＋b1，即1＝a1＋0，∴a1＝1.

???a2＋b2＝c2，? q＋d＝1， ①又?即?2 ???a3＋b3＝c3，?q＋2d＝2. ②

②－2×①，得q2－2q＝0. 又∵q≠0，∴q＝2，d＝－1. c1＋c2＋c3＋…＋c10

＝(a1＋a2＋a3＋…＋a10)＋(b1＋b2＋b3＋…＋b10) a1?1－q10?10×9＝＋10b1＋2d

1－q＝210－1＋45·(－1)＝978.

an＋an＋1

21．(12分)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2，n∈N*.

(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． 解析 (1)b1＝a2－a1＝1，

an－1＋an11

当n≥2时，bn＝an＋1－an＝2－an＝－2(an－an－1)＝－2bn－1， 1

∴{bn}是以1为首项，－2为公比的等比数列． 1

(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝(－2)n－1，

当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) 11n－2

＝1＋1＋(－2)＋…＋(－2)

11－?－2?n－1

21n－1521n－1

＝1＋1＝1＋3[1－(－2)]＝3－3(－2)，

1－?－2?

5211－1

当n＝1时，3－3(－2)＝1＝a1. 521n－1

∴an＝3－3(－2)(n∈N*)．

1

22．(12分)设正项等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且2210S30－(210＋1)S20＋S10＝0.

(1)求{an}的通项； (2)求{nSn}的前n项和Tn. 解析 (1)a1

n＝2n，n＝1,2，…

(2)∵{a1＝1

n}是首项a1＝2，公比q2的等比数列， 12?1－12n?∴S1n

n＝1－1＝1－2n，nSn＝n－2n.

2则数列{nSn}的前n项和

T＝(1＋2＋…＋n)－(12n

n2＋22＋…＋2n)， ① Tn2＝12(1＋2＋…＋n)－(122＋2n－123＋…＋2n＋n

2n＋1)，②①－②，得

Tn12＋…＋n)－(1＋11n2＝2(1＋222＋…＋2n)＋2n＋1 11＝n?n＋1?2?1－2n?n

4－1－1＋2n＋1，

2即Tn?n＋1?1n

n＝2＋2

n－1＋2n－2.

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