2017年北京市高考数学试卷(理科)(4)

17．（13分）（2017?北京）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者． （1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率； （2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；

（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）

【分析】（1）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率． （2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．

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【解答】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，

则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为： p=

=

．

（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7， 可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2， P（ξ=0）=

，

P（ξ=1）=P（ξ=2）=

=， =，

∴ξ的分布列如下：

ξ P E（ξ）=

0 1 2 =1．

（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．

18．（14分）（2017?北京）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．

（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A为线段BM的中点．

【分析】（1）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；

（2）设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦

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达定理得到x1+x2=，x1x2=，根据中点的定义即可证明．

【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1）， ∴1=2p， 解得p=， ∴y2=x，

∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣， （2）证明：设过点（0，）的直线方程为 y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴直线OP为y=x，直线ON为：y=

x，

由题意知A（x1，x1），B（x1，

），

由

，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，

∴x1+x2=，x1x2=

∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）

?2x1=2x1，

∴A为线段BM的中点．

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19．（13分）（2017?北京）已知函数f（x）=excosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，

]上的最大值和最小值．

【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；

（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，

]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．

【解答】解：（1）函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1， 可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0， 切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），

曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；

（2）函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1， 令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，

则g（x）的导数为g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2ex?sinx， 当x∈[0，

]，可得g′（x）=﹣2ex?sinx≤0，

]递减，可得g（x）≤g（0）=0， ]递减，

]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1； ﹣

=﹣

．

即有g（x）在[0，则f（x）在[0，

即有函数f（x）在区间[0，

最小值为f（

）=ecos

20．（13分）（2017?北京）设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数．

（1）若an=n，bn=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，在正整数m，使得cm，cm+1，cm+2，…是等差数列．

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＞M；或者存

【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak，则cn=b1﹣na1=1﹣n，cn+1﹣cn=﹣1对?n∈N*均成立；

（2）由bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得cm，cm+1，cm+2，…是等差数列；设存在正整数m，使得n≥m，

=An+B+对任意正整数M，

＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任

＞M．

意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，

【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5， 当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，

当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，

当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2， 下面证明：对?n∈N*，且n≥2，都有cn=b1﹣na1， 当n∈N*，且2≤k≤n时， 则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）， =[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n， =（2k﹣2）﹣n（k﹣1），

=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，

则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak， 因此，对?n∈N*，且n≥2，cn=b1﹣na1=1﹣n， cn+1﹣cn=﹣1， ∴c2﹣c1=﹣1，

∴cn+1﹣cn=﹣1对?n∈N*均成立， ∴数列{cn}是等差数列；

（2）证明：设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，下面考虑的cn取值， 由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann，

考虑其中任意bi﹣ain，（i∈N*，且1≤i≤n）， 则bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，

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