2017年北京市高考数学试卷(理科)(3)

如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为： |AP|min=|CP|﹣rC=2﹣1=1， 故答案为：1．

12．（5分）（2017?北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）= ﹣ ．

【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出

方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出

【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称， ∴sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，

∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1=﹣1=﹣ 方法二：∵sinα=， 当α在第一象限时，cosα=

，

∵α，β角的终边关于y轴对称，

∴β在第二象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=﹣∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣：∵sinα=，

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，

×+×=﹣

当α在第二象限时，cosα=﹣∵α，β角的终边关于y轴对称，

，

∴β在第一象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣综上所述cos（α﹣β）=﹣， 故答案为：﹣

×

， +×=﹣

13．（5分）（2017?北京）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 ﹣1，﹣2，﹣3 ．

【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一

【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题， 则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，

可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一）， 故答案为：﹣1，﹣2，﹣3

14．（5分）（2017?北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．

（1）记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是 Q1 ．

（2）记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是 p2 ．

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【分析】（1）若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Qi=Ai的综坐标+Bi的综坐标；进而得到答案．

（2）若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi为AiBi中点与原点连线的斜率；进而得到答案．

【解答】解：（1）若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数， Q1=A1的综坐标+B1的综坐标； Q2=A2的综坐标+B2的综坐标， Q3=A3的综坐标+B3的综坐标，

由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，

（2）若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数， 则pi为AiBi中点与原点连线的斜率， 故p1，p2，p3中最大的是p2 故答案为：Q1，p2

三、解答题

15．（13分）（2017?北京）在△ABC中，∠A=60°，c=a． （1）求sinC的值；

（2）若a=7，求△ABC的面积．

【分析】（1）根据正弦定理即可求出答案，

（2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．

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【解答】解：（1）∠A=60°，c=a， 由正弦定理可得sinC=sinA=×（2）a=7，则c=3， ∴C＜A，

由（1）可得cosC=

，

×

+×

=

，

=

，

∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=∴S△ABC=acsinB=×7×3×

=6

．

16．（14分）（2017?北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=（1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；

（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

，AB=4．

【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；

（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出

的坐标，由

与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直

线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，

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∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则

，即M为PB的中点；

（2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，

由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．

以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=

，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，

），

），C（2，

4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，

，

设平面PBD的一个法向量为则由

，得

，取z=

．

， ，得． ．

．

取平面PAD的一个法向量为∴cos＜

＞=

=

∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°； （3）解：

，平面PAD的一个法向量为

＞|=|

．

|=|

∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜

|=

．

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