线性代数第五版答案(全)(4)

15? 设向量组

(a? 3? 1)T? (2? b? 3)T? (1? 2? 1)T? (2? 3? 1)T

的秩为2? 求a? b?

43

解 设a1?(a? 3? 1)T? a2?(2? b? 3)T? a3?(1? 2? 1)T? a4?(2? 3? 1)T? 因为

13?r?1113??12a2?r?11(a3, a4, a1, a2)??233b?~?01a?1?1?~?01a?1?1??

?1113??01??002?ab?5?1b?6??????而R(a1? a2? a3? a4)?2? 所以a?2? b?5?

16? 设a1? a2? ? ? ?? an是一组n维向量? 已知n维单位坐标向量e1? e2?? ? ?? en能由它们线性表示? 证明a1? a2? ? ? ?? an线性无关?

证法一 记A?(a1? a2? ? ? ?? an)? E?(e1? e2?? ? ?? en)? 由已知条件知? 存在矩阵K? 使

E?AK?

两边取行列式? 得

|E|?|A||K|?

可见|A|?0? 所以R(A)?n? 从而a1? a2? ? ? ?? an线性无关?

证法二 因为e1? e2?? ? ?? en能由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 所以

R(e1? e2?? ? ?? en)?R(a1? a2? ? ? ?? an)?

而R(e1? e2?? ? ?? en)?n? R(a1? a2? ? ? ?? an)?n? 所以R(a1? a2? ? ? ?? an)?n? 从而a1? a2? ? ? ?? an线性无关?

17? 设a1? a2? ? ? ?? an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是? 任一n维向量都可由它们线性表示?

证明 必要性? 设a为任一n维向量? 因为a1? a2? ? ? ?? an线性无关? 而a1? a2? ? ? ?? an? a是n?1个n维向量? 是线性相关的? 所以a能由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 且表示式是唯一的?

充分性? 已知任一n维向量都可由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 故单位坐标向量组e1? e2? ? ? ?? en能由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 于是有

n?R(e1? e2? ? ? ?? en)?R(a1? a2? ? ? ?? an)?n?

即R(a1? a2? ? ? ?? an)?n? 所以a1? a2? ? ? ?? an线性无关?

18? 设向量组a1? a2? ? ? ?? am线性相关? 且a1?0? 证明存在某个向量ak (2?k?m)? 使ak能由a1? a2? ? ? ?? ak?1线性表示?

证明 因为a1? a2? ? ? ?? am线性相关? 所以存在不全为零的数?1? ?2? ? ? ?? ?m? 使

?1a1??2a2? ? ? ? ??mam?0?

而且?2? ?3?? ? ?? ?m不全为零? 这是因为? 如若不然? 则?1a1?0? 由a1?0知?1?0? 矛盾? 因此存在k(2?k?m)? 使

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?k?0? ?k?1??k?2? ? ? ? ??m?0?

于是

?1a1??2a2? ? ? ? ??kak?0?

ak??(1/?k)(?1a1??2a2? ? ? ? ??k?1ak?1)?

即ak能由a1? a2? ? ? ?? ak?1线性表示?

19? 设向量组B? b1? ? ? ?? br能由向量组A? a1? ? ? ?? as线性表示为

(b1? ? ? ?? br)?(a1? ? ? ?? as)K? 其中K为s?r矩阵? 且A组线性无关? 证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)?r?

证明 令B?(b1? ? ? ?? br)? A?(a1? ? ? ?? as)? 则有B?AK? 必要性? 设向量组B线性无关?

由向量组B线性无关及矩阵秩的性质? 有

r?R(B)?R(AK)?min{R(A)? R(K)}?R(K)? 及 R(K)?min{r? s}?r? 因此R(K)?r?

E? 充分性? 因为R(K)?r? 所以存在可逆矩阵C? 使KC???Or?为K的标准形? 于是

?? (b1? ? ? ?? br)C?( a1? ? ? ?? as)KC?(a1? ? ? ?? ar)?

因为C可逆? 所以R(b1? ? ? ?? br)?R(a1? ? ? ?? ar)?r? 从而b1? ? ? ?? br线性无关?

20? 设

??1? ?2??3? ? ? ? ??n??2??1 ??3? ? ? ? ??n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ? ? ? ???n123n?1证明向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n与向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n等价? 证明 将已知关系写成

?011???1??101???1?(?1, ?2, ? ? ? , ?n)?(?1, ?2, ? ? ? , ?n)?110???1??

??????????????????111???0???将上式记为B?AK? 因为

011???1101???1|K|?110???1?(?1)n?1(n?1)?0?

???????????????111???0 45

?21837??2?307?5? 解 ?(下一步? r1?2r4? r2?2r4? r3?3r4? )

3?2580??10320????012?17??0?3?63?5? ~?(下一步? r2?3r1? r3?2r1? )

0?2?420??10320????012?17??000016? ~?(下一步? r2?16r4? r3?16r2? )

000014??10320????012?17??00001? ~?

00000??10320????10320??012?17? ~??

00001??00000???07?5矩阵的秩为3? 580?70?0是一个最高阶非零子式?

320 10? 设A、B都是m?n矩阵? 证明A~B的充分必要条件是R(A)?R(B)? 证明 根据定理3? 必要性是成立的?

充分性? 设R(A)?R(B)? 则A与B的标准形是相同的? 设A与B的标准形为D? 则有

A~D? D~B?

由等价关系的传递性? 有A~B?

?1?23k? 11? 设A???12k?3?? 问k为何值? 可使

?k?23??? (1)R(A)?1? (2)R(A)?2? (3)R(A)?3?

k?1?23k?r?1?1??? k?1 解 A???12k?3?~ ?0k?1?k?23??00?(k?1)(k?2)????? (1)当k?1时? R(A)?1?

(2)当k??2且k?1时? R(A)?2? (3)当k?1且k??2时? R(A)?3?

12? 求解下列齐次线性方程组:

31

(1)??x1?x2?2x3?x4?0 ?2x1?x2?x3?x4?0??

?2x1?2x2?x3?2x4?0 解 对系数矩阵A进行初等行变换? 有

A????211121??11??~??0101?10??2212????0031?4?/31???

???x1?43x4于是 ??x2??3x?x44?

3?3x?4?x4?x4故方程组的解为

?x???43?1? ??x2??x??k???43??(k为任意常数)?

3?x?4???3??1?? (2)??x1?2x2?x3?x4?0?3x1?6x2?x3?3x?5x4?0?

?1?10x2?x3?5x4?0 解 对系数矩阵A进行初等行变换? 有

A???121?1??120?1??36?1?3??5101?5?~???0010??

?0000???x1??2x2?x

4于是 ??x2?x2? ?x0

?x3?4?x4故方程组的解为

?x1? ??x??2??1?2??1??0??x??k3?x?1??0??k2?0?(k1? k2为任意常数)?4??0????1???2x1?3x2?x3?5x4?0 (3)??3x1?x?4xx2?2x3?7x4?0?

1?2?3x3?6x?x1?2x2?4x3?7x4?04?0 解 对系数矩阵A进行初等行变换? 有

32

? A??2?331?21?57????10010000???4?1?21?34?6?~?7???0?

?000100?1?? ?于是 ?x?x1?02?0??x?0

?x34?0故方程组的解为

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