线性代数第五版答案(全)(3)

1111abcd a2b2c2d2a4b4c4d411110b?ac?ad?a ?0b(b?a)c(c?a)d(d?a)

0b2(b2?a2)c2(c2?a2)d2(d2?a2)111 ?(b?a)(c?a)(d?a)b cd222b(b?a)c(c?a)d(d?a)111 ?(b?a)(c?a)(d?a)0 c?bd?b0c(c?b)(c?b?a)d(d?b)(d?b?a)1 ?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)c(c?1b?a)d(d?b?a)

=(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d)?

x?10? ? ?000x?1? ? ?00 (5)? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??xn?a1xn?1? ? ? ? ?an?1x?an ?

000? ? ?x?1anan?1an?2? ? ?a2x?a1

证明 用数学归纳法证明?

x?1?x2?ax?a? 命题成立? 当n?2时? D2?a122x?a1 假设对于(n?1)阶行列式命题成立? 即 Dn?1?xn?1?a1 xn?2? ? ? ? ?an?2x?an?1? 则Dn按第一列展开? 有

?10 ? ? ? 00?1 ? ? ? 00 Dn?xDn?1?an(?1)n?1 ? x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 ? ? ? x?1 ?xD n?1?an?xn?a1xn?1? ? ? ? ?an?1x?an ? 因此? 对于n阶行列式命题成立?

6? 设n阶行列式D?det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转? 依次得

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知? 当a??1、0、1时? R(A)?3? 此时向量组线性相关?

8? 设a1? a2线性无关? a1?b? a2?b线性相关? 求向量b用a1? a2线性表示的表示式?

解 因为a1?b? a2?b线性相关? 故存在不全为零的数?1? ?2使 ?1(a1?b)??2(a2?b)?0?

?1?2?1?1b??a?a??a?(1?)a2? 由此得 121?1??2?1??2?1??2?1??2?设c??1? 则

?1??2 b?ca1?(1?c)a2? c?R?

9? 设a1? a2线性相关? b1? b2也线性相关? 问a1?b1? a2?b2是否一定线性相关？试举例说明之?

解 不一定?

例如? 当a1?(1? 2)T, a2?(2? 4)T, b1?(?1? ?1)T, b2?(0? 0)T时? 有 a1?b1?(1? 2)T?b1?(0? 1)T, a2?b2?(2? 4)T?(0? 0)T?(2? 4)T? 而a1?b1? a2?b2的对应分量不成比例? 是线性无关的?

10? 举例说明下列各命题是错误的?

(1)若向量组a1? a2? ? ? ?? am是线性相关的? 则a1可由a2? ? ? ?? am线性表示?

解 设a1?e1?(1? 0? 0? ? ? ?? 0)? a2?a3? ? ? ? ?am?0? 则a1? a2? ? ? ?? am线性相关? 但a1不能由a2? ? ? ?? am线性表示?

(2)若有不全为0的数?1? ?2? ? ? ?? ?m使

?1a1? ? ? ? ??mam??1b1? ? ? ? ??mbm?0

成立? 则a1? a2? ? ? ?? am线性相关, b1? b2? ? ? ?? bm亦线性相关? 解 有不全为零的数?1? ?2? ? ? ?? ?m使

?1a1? ? ? ? ??mam ??1b1? ? ? ? ??mbm ?0?

原式可化为

?1(a1?b1)? ? ? ? ??m(am?bm)?0?

取a1?e1??b1? a2?e2??b2? ? ? ?? am?em??bm? 其中e1? e2? ? ? ?? em为单位坐标向量? 则上式成立? 而a1? a2? ? ? ?? am和b1? b2? ? ? ?? bm均线性无关?

(3)若只有当?1? ?2? ? ? ?? ?m全为0时? 等式

?1a1? ? ? ? ??mam??1b1? ? ? ? ??mbm?0

才能成立? 则a1? a2? ? ? ?? am线性无关, b1? b2? ? ? ?? bm亦线性无关? 解 由于只有当?1? ?2? ? ? ?? ?m全为0时? 等式

由?1a1? ? ? ? ??mam??1b1? ? ? ? ??mbm ?0

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成立? 所以只有当?1? ?2? ? ? ?? ?m全为0时? 等式

?1(a1?b1)??2(a2?b2)? ? ? ? ??m(am?bm)?0

成立? 因此a1?b1? a2?b2? ? ? ?? am?bm线性无关?

取a1?a2? ? ? ? ?am?0? 取b1? ? ? ?? bm为线性无关组? 则它们满足以上条件? 但a1? a2? ? ? ?? am线性相关?

(4)若a1? a2? ? ? ?? am线性相关, b1? b2? ? ? ?? bm亦线性相关? 则有不全为0的数? ?1? ?2? ? ? ?? ?m使

?1a1? ? ? ? ??mam?0? ?1b1? ? ? ? ??mbm?0

同时成立?

解 a1?(1? 0)T? a2?(2? 0)T? b1?(0? 3)T? b2?(0? 4)T?

?1a1??2a2 ?0??1??2?2? ?1b1??2b2 ?0??1??(3/4)?2?

??1??2?0? 与题设矛盾?

11? 设b1?a1?a2? b2?a2?a3? b3?a3?a4? b4?a4?a1? 证明向量组b1? b2? b3? b4线性相关? 证明 由已知条件得

a1?b1?a2? a2?b2?a3? a3?b3?a4? a4?b4?a1? 于是 a1 ?b1?b2?a3

?b1?b2?b3?a4

?b1?b2?b3?b4?a1? 从而 b1?b2?b3?b4?0?

这说明向量组b1? b2? b3? b4线性相关?

12? 设b1?a1? b2?a1?a2? ? ? ?? br ?a1?a2? ? ? ? ?ar? 且向量组a1? a2? ? ? ? ? ar线性无关? 证明向量组b1? b2? ? ? ? ? br线性无关? 证明 已知的r个等式可以写成

?11???1??01???1?(b1, b2, ? ? ? , br)?(a1, a2, ? ? ? , ar)??

??????????????00???1???上式记为B?AK? 因为|K|?1?0? K可逆? 所以R(B)?R(A)?r? 从而向量组b1? b2? ? ? ? ? br线性无关?

13? 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组?

(1)a1?(1? 2? ?1? 4)T? a2?(9? 100? 10? 4)T? a3?(?2? ?4? 2? ?8)T? 解 由

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?19?2??19?2??19?2??2100?4?r?0820?r?010? (a1, a2, a3)??? ~~?1102??0190??000??44?8??0?320??000???????知R(a1? a2? a3)?2? 因为向量a1与a2的分量不成比例? 故a1? a2线性无关? 所以a1? a2是一个最大无关组?

(2)a1T?(1? 2? 1? 3)? a2T?(4? ?1? ?5? ?6)? a3T?(1? ?3? ?4? ?7)? 解 由

1??141??141??14r?2?1?3??0?9?5?r?0?9?5?? (a1, a2, a3)??~~1?5?4??0?9?5??000??3?6?7??0?18?10??000???????知R(a1T? a2T? a3T)?R(a1? a2? a3)?2? 因为向量a1T与a2T的分量不成比例? 故a1T? a2T线性无关? 所以a1T? a2T是一个最大无关组?

14? 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组?

?25311743??759453132? (1)??

759454134??25322048???

解 因为

?25311743?r2?3r1?25311743??25311743?r?rr?3r?759453132?31?0123?43?0123?~?759454134?r~???0013?? r?r01353?r241?25322048??0135??0000???????所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

?11221??0215?1? (2)??

203?13??1104?1??? 解 因为

?11221?r?2r?11221?r?r?11221??0215?1?31?0215?1?32?0215?1?~? ?203?13?r~????r?r?r0?2?1?5100?22?2?1104?1?41?00?22?2?34?00000???????所以第1、2、3列构成一个最大无关组?

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