线性代数第五版答案(全)

所以K可逆? 故有A?BK ?1? 由B?AK和A?BK ?1可知向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n与向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n可相互线性表示? 因此向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n与向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n等价? 21? 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x?3Ax?A2x? 且向量组x? Ax? A2x线性无关?

(1)记P?(x? Ax? A2x)? 求3阶矩阵B? 使AP?PB? 解 因为

AP?A(x? Ax? A2x) ?(Ax? A2x? A3x)

?(Ax? A2x? 3Ax?A2x)

?000? ?(x, Ax, A2x)?103??

?01?1????000?所以B??103??

?01?1??? (2)求|A|?

解 由A3x?3Ax?A2x? 得A(3x?Ax?A2x)?0? 因为x? Ax? A2x线性无关? 故3x?Ax?A2x?0? 即方程Ax?0有非零解? 所以R(A)?3? |A|?0? 22? 求下列齐次线性方程组的基础解系?

??x1?8x2?10x3?2x4?0 (1)?2x1?4x2?5x3?x4?0?

??3x1?8x2?6x3?2x4?0 解 对系数矩阵进行初等行变换? 有

0??1?8102?r?104 A??245?1? ~ ?01?3/4?1/4??

?386?2??0000?????于是得

x1??4x3 ??x?(3/4)x?(1/4)x?

?234 取(x3? x4)T?(4? 0)T? 得(x1? x2)T?(?16? 3)T? 取(x3? x4)T?(0? 4)T? 得(x1? x2)T?(0? 1)T? 因此方程组的基础解系为

?1?(?16? 3? 4? 0)T? ?2?(0? 1? 0? 4)T?

??2x1?3x2?2x3?x4?0 (2)?3x1?5x2?4x3?2x4?0?

??8x1?7x2?6x3?3x4?0 解 对系数矩阵进行初等行变换? 有

?2?3?21?r?102/19?1/19? A??354?2? ~ ?0114/19?7/19??

?876?3??000?0????

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于是得

??x1??(2/19)x3?(1/19)x4?x??(14/19)x?(7/19)x?

234 取(x3? x4)T?(19? 0)T? 得(x1? x2)T?(?2? 14)T? 取(x3? x4)T?(0? 19)T? 得(x1? x2)T?(1? 7)T? 因此方程组的基础解系为

?1?(?2? 14? 19? 0)T? ?2?(1? 7? 0? 19)T?

(3)nx1 ?(n?1)x2? ? ? ? ?2xn?1?xn?0. 解 原方程组即为

xn??nx1?(n?1)x2? ? ? ? ?2xn?1?

取x1?1? x2?x3? ? ? ? ?xn?1?0? 得xn??n?

取x2?1? x1?x3?x4? ? ? ? ?xn?1?0? 得xn??(n?1)??n?1? ? ? ? ?

取xn?1?1? x1?x2? ? ? ? ?xn?2?0? 得xn??2? 因此方程组的基础解系为 ?1?(1? 0? 0? ? ? ?? 0? ?n)T? ?2?(0? 1? 0? ? ? ?? 0? ?n?1)T? ? ? ??

?n?1?(0? 0? 0? ? ? ?? 1? ?2)T?

23? 设A???2?213?9?528???, 求一个4?2矩阵B, 使AB?0, 且 R(B)?2.

解 显然B的两个列向量应是方程组AB?0的两个线性无关的解?r A???2?213?9?528??? ~ ???0101??51//88?111//88???? 所以与方程组AB?0同解方程组为

??x?x1?(1/8)x?(5/8)x3?(1/8)x?(11/84)x?

234 取(x3? x4)T?(8? 0)T? 得(x1? x2)T?(1? 5)T? 取(x3? x4)T?(0? 8)T? 得(x1? x2)T?(?1? 11)T? 方程组AB?0的基础解系为

?1?(1? 5? 8? 0)T? ?2?(?1? 11? 0? 8)T?

?1?1? 因此所求矩阵为B???511???8

?00?8??

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因为 24? 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为

?1?(0? 1? 2? 3)T ? ?2?(3? 2? 1? 0)T ?

解 显然原方程组的通解为

??x1??0??x?x??1???32???x1?3k2?x2??k12?k1?2k2?x??2??k2?1?, 即?x?2k?k? (k1? k?2?R)? 34??3???0???x34?3k12??1消去k1? k2得

??2x1?3x2?x4?0?x1?3x3?2x? 4?0此即所求的齐次线性方程组.

25? 设四元齐次线性方程组

I? ??x1?x2?0?x1?x2?x3?0?x? 2?x ? II? 4?0??x2?x3?x4?0求? (1)方程I与II的基础解系? (2) I与II的公共解?

解 (1)由方程I得??x??xx1?x4??

24 取(x3? x4)T?(1? 0)T? 得(x1? x2)T?(0? 0)T? 取(x3? x4)T?(0? 1)T? 得(x1? x2)T?(?1? 1)T? 因此方程I的基础解系为

?1?(0? 0? 1? 0)T? ?2?(?1? 1? 0? 1)T?

由方程II得??x1??x4?x?x?x?

234 取(x3? x4)T?(1? 0)T? 得(x1? x2)T?(0? 1)T? 取(x3? x4)T?(0? 1)T? 得(x1? x2)T?(?1? ?1)T? 因此方程II的基础解系为

?1?(0? 1? 1? 0)T? ?2?(?1? ?1? 0? 1)T? (2) I与II的公共解就是方程

? III? ?x1?x??x2?0x?0?x24

?x1?x2?x2?x3?x3?04?0的解? 因为方程组III的系数矩阵

?1100??100 A???010?1? ?1?110?~r ??000101??121????

?01?11????0000??所以与方程组III同解的方程组为

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??x1??x4 ?x2?x4?

??x3?2x4 取x4?1? 得(x1? x2? x3)T?(?1? 1? 2)T? 方程组III的基础解系为 ??(?1? 1? 2? 1)T?

因此I与II的公共解为x?c(?1? 1? 2? 1)T? c?R?

26? 设n阶矩阵A满足A2?A? E为n阶单位矩阵, 证明

R(A)?R(A?E)?n?

证明 因为A(A?E)?A2?A?A?A?0? 所以R(A)?R(A?E)?n? 又R(A?E)?R(E?A)? 可知

R(A)?R(A?E)?R(A)?R(E?A)?R(A?E?A)?R(E)?n?

由此R(A)?R(A?E)?n?

27? 设A为n阶矩阵(n?2)? A*为A的伴随阵? 证明

n 当R(A)?n??R(A*)??1 当R(A)?n?1?

??0 当R(A)?n?2 证明 当R(A)?n时? |A|?0? 故有

|AA*|?||A|E|?|A|?0? |A*|?0? 所以R(A*)?n?

当R(A)?n?1时? |A|?0? 故有 AA*?|A|E?0?

即A*的列向量都是方程组Ax?0的解? 因为R(A)?n?1? 所以方程组Ax?0的基础解系中只含一个解向量? 即基础解系的秩为1? 因此R(A*)?1?

当R(A)?n?2时? A中每个元素的代数余子式都为0? 故A*?O? 从而R(A*)?0? 28? 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系?

??x1?x2?5 (1)?2x1?x2?x3?2x4?1?

??5x1?3x2?2x3?2x4?3 解 对增广矩阵进行初等行变换? 有

?11005?r?1010?8?B??21121? ~ ?01?1013?? ?53223??00012????? 与所给方程组同解的方程为

x??x3?8??1?x2? x3?13? ??x4? 2 当x3?0时? 得所给方程组的一个解??(?8? 13? 0? 2)T? 与对应的齐次方程组同解的方程为

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