华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三(3)

华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三

方程通解为y c1e3x c2ex，由定解的初值条件c1 c2 2

y 3c1e3x c2ex，由定解的初值条件3c1 c2 1

从而c1

1515,c2 ，特解为y e3x ex 2222

六、设函数f(u)有二阶连续导数，而函数z f(exsiny)满足方程

2z 2z2x

ze22

x y

试求出函数f(u)．

2 z 2zx

f u esiny,2 f u exsiny f u exsiny 解：因为 x x

2 z 2zx

f u ecosy,2 f u excosy f u ex( siny) y y

2z 2z

2 f u e2x f(u)e2x, f u f(u) 0 2

x y

特征方程为r 1 0,r,r2 1,f u c1e c2e 1 1

2

u

u

七、计算曲面积分

222

(xycos yxcos zcos )dS，

其中 是球体x2 y2 z2

2z与锥体z 的公共部分 的表面，

cos ，cos ，cos 是其外法线方向的方向余弦．

222 x2 y2 1 x y z 2z2

2z 2z,z1 0,z2 1, 解：两表面的交线为

z 1 z 原式

x

2

y2 2z dv，投影域为D:x2 y2 1，

用柱坐标 :0 2 ,0 r 1,r z 12

原式

1

d rdr

r

r

1

12

2z dz 2 r

rz z

2

1

2

1r

2 r r21r 10

r dr

2

2

3

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