设想：用矩形近似代替曲边梯形。为了减少误差，把曲边梯形分成许多小曲边梯形，并用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。当分割越细，所得的近似值越接近准确值，通过求小矩形面积之和的极限，就求得了曲边梯形得面积。
（2）解决问题（思路）
y 第一步：分割
y=x2 第二步：近似代替 第三步：求和 第四步：取极限 0 x
1 二、定积分的定义
现实中许多实例，尽管实际意义不同，但解决问题的方法是一样的：按“分割取近似，求和取极限”的方法，将所求的量归结为一个和式极限。我们称这种“和式极限”为函数的定积分。
定 义：?f(x)dx?lim?f(?i)?xi （说明定积分中各符号的称谓）
an??i?1bn由定积分的定义知，以上实例可以表示成定积分：面积A??x2dx
01 说 明：定积分是一个特殊的和式极限，因此，它是一个常量，它只与被积函数f(x)、积分区间[a,b]有关，而与积分变量用何字母表示无关。
三、定积分的几何意义（作 图）
当函数f(x)在[a,b]上连续时，定积分可分成三种形式：
1、若在[a,b]上，f(x)?0，则定积分表示由曲线f(x)，直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积A，即?f(x)dx?A
ab2、若在[a,b]上，f(x)?0，则定积分表示由曲线f(x)，直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积A的相反数，即?f(x)dx??A
ab3、若在[a,b]上，f(x)可正可负，则定积分表示x轴上方图形的面积A1与下方图形的面积A2之差，即?f(x)dx?A1?A2
abb结论：定积分的几何意义：“有号面积”， 即A??f(x)dx。
a例1、用定积分几何意义判定下列积分的正负： （1）?edx （2）??sinxdx
0?22x0例2、用定积分表示由曲线y=x2+1,直线x=1,x=3和y=0所围成的图形面积？ 四、定积分的性质（简略）
总学时64学时（XRG）
（1）?f(x)dx?0 （2）?f(x)dx???f(x)dx （3）?dx?b?a
aabaabab（4）积分中值定理：
设函数f(x)在以a，b为上下限的积分区间上连续，则在a，b之间至少存在
b一个?（中值），使 ? af(x)dx=f(?)(b－a)
y 积分中值定理有以下的几何解释：若f(x)在[a，b]上连
y=f(x) 续且非负，定理表明在[a，b]上至少存在一点?，使得以 [a，b]为底边、曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积，与同 底、高为f(?)的矩形的面积相等，如图所示．因此从几何角 f(?) 度看，f(?)可以看作曲边梯形的曲顶的平均高度；从函数值 角度上看，f(?)理所当然地应该是f(x)在[a，b]上的平均值． O a ? 因此积分中值定理这里解决了如何求一个连续变化量的平均值问题．
x b 思考题：
ba
1、 用定积分的定义计算定积分?cdx,其中c为一定常数。[矩形的面积] 2、 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义求下列积分的值：
（1）
?1?1?1xdx, （2）??RRR2?x2dx, （3）?20cosxdx, （4）??xdx.
1探究题：用定积分的符号、定义、结果、方法等说明“什么是定积分”？ 小 结：定积分的本质：从宏观（整体）研究非均匀量的“改变量”问题。是处理非均匀量的“乘法”；其思想方法：(1)在小范围内以“不变”代“变”，获得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。其中，“分”是为了“匀”的需要，而“求和”是整体量的要求。 作 业：P40（A：1-3）
课堂练习（定积分的概念）
【A组】
一、判定正误：
1、定积分?af(x)dx表示曲边梯形的面积。（ F ）
2、定积分?af(x)dx的值与被积函数f(x)、积分区间[a,b]及积分变量x有关。F 3、?12bblnxdx?0 （ T ） 4、[?f(x)dx]??f(x) （ F ）
ab总学时64学时（XRG）
二、用定积分表示面积：
(1)曲线y?x3,直线x??1,x?1及y?0所围成的平面？ (2)由方程x2?y2?4所确定的圆的面积？
三、 用定积分的定义计算定积分?cdx,其中c为一定常数。
ab
【B组】
?]
04二、由定积分的几何意义求直线y?2x?1,x?1,x?2,y?0所围成的平面图
形的面积？
三、用定积分的定义求曲线y?x2?1,x?1,x?2,y?0所围成的平面图形的 面积？ 数学认识实验： 定积分思想的几何直观 1、函数y?x2在[0,1]上所围成的面积分析： （1）步长为0.1的分割。（n=10）
一、由定积分的几何意义计算：?1?x2dx？ [
1Y10.80.60.40.2
（2）步长为0.05的分割。（n=20）
0.20.40.60.8 总学时64学时（XRG）
Y10.80.60.40.2
（3）步长为0.01的分割。（n=100）
Y10.80.60.40.20.20.40.60.8
0.20.40.60.8 第七讲 定积分与导数
教学目的：掌握原函数的概念及N-L公式。
重 难 点：作为路程的定积分、微积分基本定理 教学程序：复习定积分概念（和式极限）—>原函数—>N-L公式（求路程）
推导—>N—L公式（计算方法）—>定积分的计算（简单）
授课提要：
前 言：定积分是一个重要的概念，如果用定义来计算，计算复杂且不易，所以必须寻找新的计算方法。下面将研究定积分与导数的关系。
一、原函数的概念
定 义：若在某一区间上有F?(x)?f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数。
总学时64学时（XRG）
如：已知(x2)??2x，所以x2是2x的一个原函数，同理，x2?1也是它的原函数。（说明：原函数不唯一）
*二、变上限函数
设函数f(x)在[a,b]上连续，且x?[a,b]，则称函数?f(t)dt为变上限函数。记
axxp(x)??f(t)dt。它有如下性质：
a(1)p(a)?0,p(b)??f(t)dt；
ab(2)若f(x)在[a,b]上连续，则p(x)在[a,b]上可导，且有p?(x)?f(x)。 由性质(2)及原函数的定义知，p(x)是f(x)的一个原函数。
定 理（原函数存在定理）若f(x)在[a,b]上连续，则其原函数一定存在，且原函数可表示为F(x)??f(t)dt
axxsintdtdx?20例1、求(?costdt) ？ 例2、求lim ？
x?0dx0x2三、N－L公式（直观推导）
设一辆汽车作变速直线运动（如图），从时刻a到b，求其经过的路程？ （1）若已知路程函数s?s(t)，则s?s(b)?s(a)；
（2）若已知速度函数v?v(t)，则由定积分有s??v(t)dt?s(b)?s(a)；
ab（3）s(t)与v(t)有如下关系：s?(t)?v(t)，即s(t)是v(t)的一个原函数。
一般地，有如下定理：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则
?baf(x)dx?F(b)?F(a)
说 明：(1)N－L公式揭示了定积分与原函数（不定积分）间的联系，给
定积分的计算提供了有效而简便的方法。
(2)由定义知求定积分的步骤：①求原函数 ②求原函数的增量
例3、求下列定积分：
21?1（1）?x2dx （2）?sinxdx （3）?(3x2?)dx
100x例4、求由曲线y?sinx，直线x=0，x=π，y=0所围成的图形面积？ 例5、求曲线y?x2?1,x?1,x?2,y?0所围成的平面图形的面积？ 例6、设物体的速度v?2sint，求时段[0,?]的距离？
总学时64学时（XRG）
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