《高等数学》授课教案(4)

数学认识实验： 函数与导函数的图像比较（y?x3,y??3x2,y???6x） Y642-2-1-21

第五讲 求导法则（二）、连续与导数

教学目的：了解函数的连续性的概念，理解连续与导数的关系。

重 难 点：基本导数公式，连续的几何直观、连续与可导的关系 教学程序：复习基本导数公式、法则—>连续概念（极限定义）—>连续的条件 —>初等函数的连续性—>可导与连续（例）—>连续函数的极限（例子）

授课提要：

一、复习基本导数公式和法则 举 例：（略）

二、连续的概念（作图直观理解）

1、定 义：设函数y?f(x)在x0点及附近有定义，当x?x0时,有 f(x)?f(x0)，则称f(x)在x0点连续。

说明：连续是一种特殊的极限。连续?有极限，反之不成立。 例1、试证y?x在x=0处连续？ 三、函数连续的条件

（１）f(x)在x0点及附近有定义 （２）f(x)在x0点的极限存在 （３）极限值等于函数值。

总学时64学时（XRG）

?x2,x?0例2、讨论函数y??在x=0处的连续性？

?1,x?0四、初等函数的连续性

初等函数在定义区间内都是连续的。其图像是一条连绵不断的曲线。

五、可导与连续

1、可导与连续的图象特征

（1）连续函数的图像是一条连绵不断的曲线。（作图示例）

（2）可导函数的图像不仅连绵不断，并且曲线具有平滑性（无尖点、折点） 2、可导与连续的关系

定理：若函数f(x)在x0点可导，则f(x)在点x0连续；反之，结论不成立。 例3、试证函数y?sinx在x=0点连续但不可导。

例4、试证函数y?3x2在x=0点连续但不可导,但切线存在。

3、极限、连续、可导之间的关系

?x2,x?0 可导?连续?有极限；反之不一定成立。如f(x)??在x=0处。

y ?1,x?0y

y=|x| y=3x

1 ? x 1 -1 x ? -1

六、连续函数的极限

若f(x)在x0点连续，则limf(x)?f(x0)

x?x0例5、求下列极限

（1）limx (2)limcosx （3） limx?02x?1x??xln(1?x)lim (4) x?0x?4?2x

?1?cosx,x?0?例6、讨论f(x)??x2在x=0处的连续性？

2??x?1,x?0 思考题：

总学时64学时（XRG）

1．如果f(x)在x0处连续，问|f(x)|在x0处是否连续？ [连续] 2． 如果f(x)在x0处可导，问|f(x)|在x0处是否可导？ [不一定]

x2?13．求函数f(x)?的间断点，并判断其类型。

(x?1)x探究题：作图说明函数不可导点的类型。[不连续点、尖点、折点] 小 结：连续函数的美学意义：和谐与奇异之美。连续体现的是自然和谐、社会发展的生生不息；间断则表现为不规则和与众不同，体现了自然界的丰富多彩和社会发展中的跳跃性。

作 业：P34（A：1-2）；复习题（2-5）

课堂练习（求导公式与法则二）

【A组】

1、求下列函数的导数

1x?1(1) y?2x2?3x?1 (2) y?x2??lnx (3) y?xlnx (4) y?

xx?12、求函数y?x3lnx在x=1处的导数值？

73x3?2x?1k?3、求曲线y?在点（-1，0）处的切线方程？ []

3x2?211?x2?1f(0)?4、试定义f(0)的值，使函数f(x)?在x=0处连续？[] 22x1?2?xsin,x?05、设f(x)??，问a为何值时，函数在x=0处连续？[2] xx??a?e,x?0

【B组】

?x2,x?11、作函数y??的图像？

1,x?1?f(x)?2，求f?(2)？ [2] 2、设函数f(x)在x=2处连续，且limx?2x?2[f(x)]3?13、设f(x)有连续导数，f?(2)?2,f(2)?1，求lim？ [12]

x?2x?2总学时64学时（XRG）

?x2,x?14、设f(x)??，问a,b为何值时，函数f(x)处处连续、可导？

?ax?b,x?13x?15、x=1是函数y?的（ B ）

x?1（A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）无穷间断点

a*6、若f(x)在[0，a]上连续，且f(0)=f(a)，试证：方程f(x)?f(x?)在

2（0，a）内至少有一个实根。

a [提示：作新函数，在[0,]上使用零点存在定理]

2 数学认识实验： 不可导点的类型 1、连续而不可导的点（尖、折点）（如：y?sinx在x?k?，y?3x2在x?0）

120.81.50.610.40.20.5

2、不连续点为不可导点：

321-7.5-5-2.52.557.5 -3-2-112 10.5-3-2-1-1-2-312-2-11-0.5 总学时64学时（XRG）

-1

Y11.510.50.5-2-1-0.515-0.5-1101520

-1 -1.5 第六讲 定积分的概念

教学目的：了解定积分的概念，理解定积分的几何意义。

重 难 点：作为面积的定积分概念 教学程序：提出问题—>解决问题（思想）—>定积分定义—>定积分的几何意义（例子）—>定积分的性质（简单）

授课提要：

前 言：在自然科学、工程技术和经济学的许多问题中，经常会遇到各种平面图形的面积计算。对于三角形、四边形及直多边形和圆的面积，可以用初等数学的方法计算，但由任一连续围成的图形的面积就不会计算。下面讨论由连续曲线所围成的平面图形的面积的计算方法。

一、问题引入

1、曲边梯形的定义

所谓曲边梯形是指有三条直线段，其中两条相互平行，第三条与这两条相互垂直，第四条边为一条连续曲线所围成的四边形。（如图所示）

2、引 例：如何求曲线y?x2,x?0,x?1,y?0所围成的面积？(特殊曲边梯形) （1）分析问题

若将曲边梯形与矩形比较，差异在于矩形的四边都是直的，而曲边梯形有一条边是曲的。

总学时64学时（XRG）

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