《高等数学》授课教案(3)

三、导数的几何意义（作图说明）

结论：f?(x0)表示曲线y=f(x)在点（x0,f(x0)）的切线斜率。

1例4、求曲线y?x?2在点(1,0)处的切线方程？

xf(1)?f(1?x)?1，求曲线y=f(x)在点例5、设f(x)为可导函数，且limx?02x（1,f(1)）处的切线斜率？ [导数定义及几何意义] 四、导数的物理意义

结论：设物体运动方程为S?s(t)，则s?(t)表示物体在时刻t的瞬间速度。 例6、设物体的运动方程为s?t2?2t?3，求物体在时刻t=1时的速度？

1例7、求曲线y?x3?x2?x?3上一点，使过该点的切线平行于直线

32x?y?2?0。[x?3或x??1] 例8、设某产品的成本满足函数关系：C(x)?x2?x?3(x为产量)，求x=2时的边际成本，并说明其经济意义。

思考题： f'(x0)与[f(x0)]'有无区别？[f'(x0)?f?(x)x?x0，[f(x0)]'?0] 探究题：导数f?(x0)的值可不可以为负值？举例说明。[可以]

小 结：导数的美学意义：局部线性之美（y?f?(x0（)x?x0)?f(x0)）。它将可导曲线在局部线性化，它是由函数局部性质研究函数整体性质的工具和方法。 作 业：P25（A：1）；P28（A：1，3） 课堂练习（导数概念二）

【A组】

1、求下列函数的导数

1(1) y?x2 (2) y?2x3 (3) y?2sinx (4) y?x25x3 (5) y?3x?

x2、求下列函数的导数

321?x?x(1) y?1?x2?3x3 (2) y? (3) y?x?lnx (4) y?ex?2

x3、求函数y?ex?2x在x=1处的导数值？

总学时64学时（XRG）

?4、设f(x)?x2?2sinx?3,求f?(0),f?()?

25、设物体的运动方程为s?2t2?3t?1，求时刻t=3时的速度？

π6、 抛物线y = x2在何处切线与Ox轴正向夹角为，并且求该处切线的方程.

4

【B组】

1、一球体受力在斜面上向上滚动，在t秒末离开初始位置的距离为s?3t?t2，问其初速度为多少？何时开始向下滚动？

x2?12、已知曲线y?与y?1?lnx相交于点（1，1），证明两曲线在该点处

2相切，并求出切线方程？

数学认识实验： 导数的几何意义和美学价值 1、导数的定义（切线问题）

y?y msec?y?f(x)?x

Q f(x??x)dymtan? dx ?y dyP f(x)?x?dx

xxx??x

112、导数的几何意义：（y?x,y?(4)?;y?lnx,y?(4)?）

4432124683、导数的美学意义：曲线的局部线性化。 总学时64学时（XRG）

（1）在x=0处比较：曲线y?sinx与切线y?x； （2）在x=1处比较：曲线y?x2?1与切线y?2x。

Y1.514Y60.52-2-1-0.51-2-112-1-1.5第四讲 求导公式与求导法则（一）

教学目的：掌握基本导数公式与导数运算法则，会求简单函数的导数。

-2 重 难 点：基本导数公式与法则 教学程序：基本公式—>运算法则—>例子—>二阶导数的定义及求法 授课提要：

一、基本导数公式

由导数的定义，我们可以得到如下基本导数公式：

1(C)??0;(x)??1;(x?)???x??1;(ex)??ex;(lnx)??

x(sinx)??cosx;(cosx)???sinx;(tanx)??sec2x;(cotx)???csc2x 二、导数的四则运算法则 设u、v为可导函数，则

??1、?u?v??u??v? 2、?ku??ku?(k?0)

?u?u?v?uv???(v?0) 3、?uv??u?v?uv? 4、???2vv??例1、求下列函数的导数

2?x22(1) y?3x?x?1 (2) y? (3) y?lnx?ex (4) y?excosx

x例2、求函数在给定点的导数值？

总学时64学时（XRG）

(1) y?tanx,x?? (2) y?2ex?3x?2,x?1

例3、设y?x2lnx,求证：xy??2y?x2

例4、已知曲线y?xlnx的切线与直线2x?2y?3?0垂直，求此切线方程？

三、二阶导数

1、定义：若导函数f?(x)再求导数，称为f(x)的二阶导数。记：f??(x) 2、求法：由定义知，求二阶导数的方法与求一阶导数的方法一致。 例5、求下列二阶导数

1?x22(1) y?3x?x?1 (2) y? (3) y?lnx?ex (4)y?xex

x3、二阶导数的物理意义

设物体的运动规律为：s?s(t)，则s??(t)表示物体在时刻t的加速度。 例6、设物体的运动方程为：s?3t3?2t?2，求t=2时的速度和加速度？ 思考题：

1. 思考下列命题是否成立？

(1)若f(x)，g(x)在点x0处都不可导，则f(x)?g(x)点x0处也一定不可导.

答：命题不成立.

?0,x?0,?x,x?0,如：f(x)=? g(x)=?

x,x?0,0,x?0,??f(x)，g(x)在x = 0 处均不可导，但其和函数f(x)+g(x)= x 在x= 0 处可导.

(2)若f(x)在点x0处可导,g(x)在点x0处不可导，则f(x)+g(x)在点x0处一定不可导.

答：命题成立.

原因：若f(x)+g(x)在x0处可导，由f(x)在x0处点可导知

g(x)=[f(x)+g(x)]?f(x)在x0点处也可导，矛盾.

探究题：

某产品的需求方程和总成本函数分别为P?0.1x?80，C(x)?5000?20x，其中x为销售量，P为价格。求边际利润，并计算x?150和x?400时的边际利润，解释所得结果的经济意义。[导数的经济意义]

总学时64学时（XRG）

小 结：导数的物理意义更深层次反映了导数的本质：研究非匀速物体运动的变化率。s?(t)指路程对时间的变化率，s??(t)指速度对时间的变化率。二阶导数的几何意义：反映曲线的凹向。 作 业：P30（A：1-2）

小知识：数学的三次危机

第一次数学危机：无理数的产生。（单位正方形的对角线长） 第二次数学危机：微积分的产生和完善。（极限和无穷小的定义） 第三次数学危机：集合论的产生。（罗素悖论）

课堂练习（导数公式与法则一）

【A组】

1、求下列导数

(1) y?3x2?lnx?3 (2) y?232 (3) y?xlnx (4) y?(sinx)2 x2、曲线y?xex在何处有水平切线？ [x=-2/3]

3、已知曲线y?xlnx的切线与直线2x?2y?3?0垂直，求此切线方程？[e] 4、求下列二阶导数

1(1) y?3x2?lnx (2) y? (3) y?xlnx

x

【B组】

f(xn)？ 1、设曲线y?xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(xn,0)，求极限nlim???f(3x)?3，求f?(0)？ [1]

x?0xf(x0?h)?f(x0?2h)3、设f?(x0)?2，求lim？ [-2]

h?0h4、已知f(x)?x2?(x)，?(x)二阶连续可导，求f??(0)？ [2?(0)]

2、若f(0)?0,lim5、设某种汽车刹车后运动规律为S?19.2t?0.4t3，假设汽车作直线运动，求汽车在t?4秒时的速度和加速度。

总学时64学时（XRG）

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