微元法在物理习题中的应用（改编）(3)

解：（1）因在竖直方向两边的磁感应强度大小不同，所以产生感应电流为

e(B2?B1)Lv1kL2i???

RRR(2)当安培力等于重力时竖直速度最大，功率也就最大

(B2?B1)2L2vmk2L4vm? mg?(B2?B1)IL?RR所以vm?mgR 24kLm2g2RPm?mgvm?24

kL（3）线框受重力和安培力两个力，其中重力mg为恒力，安培力

(B2?B1)2L2vzk2L4vz?f?为变力，我们把线框的运动分解为在重力作用下的运

RR动和在安培力作用下的运动。在重力作用下，在时间t 内增加的速度为(?v)1?gt，求在安培力作用下在时间t内增加的速度为(?v)2

用微元法，设在微小时间?t内，变力可以看做恒力，变加速运动可以看做匀加速运动，加

k2L4vzk2L4vz?t，而vz?t??z，所以速度为a??，则在?t内速度的增加为?v??mRmR在时间t内由于安培力的作用而增加的速度（因为增加量为负，所以实际是减小）为

k2L4(?v)2??mRk2L4??z，所以(?v)2??mR?z

k2L4?z。 再根据运动的合成，时间t内总的增加的速度为(?v)1?(?v)2=gt?mRk2L422?v0?z=v2从宏观看速度的增加为v?v，所以gt?，得线框在时间t内的总

mR2220位移大小为z?22mR(gt?v2?v0)k2L4。

从例题可以看出，所谓微元法是数学上的微积分理念在解物理题中的应用.

3.重力和安培力不在一条直线上的情况 例3．2008年高考江苏省物理卷第15题

如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计．场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2．两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直．（设重力加速度为g）

⑴若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△Ek；

⑵若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b 又恰好进入第2个磁场区域．且a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等．求b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q； ⑶对于第⑵问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v． 磁场区域1 B 棒b 磁场区域2 B

棒 a d1 磁场区域3 B d2 d1

磁场区域4 B d2

d1

磁场区域5 B d2

d1

d2

Θ d1

解：⑴因为a和b产生的感应电动势大小相等，按回路方向相反，所以感应电流为0，所以a和b均不受安培力作用，由机械能守恒得 ?Ek?mgd1sin? ①

⑵设导体棒刚进入无磁场区时的速度为v1,刚离开无磁场区时的速度为v2,即导体棒刚进入磁场区时的速度为v2,刚离开磁场区时的速度为v1，由能量守恒得：

112mv12?Q?mv2?mgd1sin? ② 221122 在无磁场区域：mv2?mv1?mgd2sin? ③

22 在磁场区域有：

解得：Q?mg(d1?d2)sin?

⑶用微元法

设导体棒在无磁场区域和有磁场区域的运动时间都为t， 在无磁场区域有：v2?v1?gtsin? ④ 且平均速度：

v1?v2d2? ⑤ 2t在有磁场区域，对a棒：F?mgsin??BIl 且：I?Blv 2RB2l2v解得: F?mgsin?? ⑥

2R 因为速度v是变量，用微元法

根据牛顿第二定律, 在一段很短的时间?t内

?v?F?t m?B2l2v?则有??v???gsin???t ?2mR??因为导体棒刚进入磁场区时的速度为v2,刚离开磁场区时的速度为v1, 所以

??v?v1?v2,

?v?t?d，??t?t

1B2l2d1 ⑦ 所以：v1?v2?gtsin??2mR4mgRd2B2l2d1联立④⑤⑦式,得v1? sin??228mRBld1（原答案此处一笔带过，实际上这一步很麻烦，以下笔者给出详细过程：

B2l2d1④代入⑦得：t?， ⑧

4mgRsin?⑧代入⑤得：v1?v2?8mgd2Rsin? ⑨ 22Bld14mgRd2B2l2d1⑦+⑨得：v1?。） sin??228mRBld1a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等, 所以a穿出任一个磁场区域时的速率v就等于v1．所以

4mgRd2B2l2d1。 v?22sin??8mRBld1（注意：由于a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等，所以a穿出任一

个磁场区域时的速率v都相等，所以所谓“第K个磁场区”，对本题解题没有特别意义。） 练习题

练习题1. 2007年高考江苏省物理卷第18题

如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度Ｂ＝１Ｔ，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m，现有一

边长l=0.2m、质量m=0.1kg、电阻Ｒ＝0.1Ω的正方形线框ＭＮＯＰ以v0=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求

（１）线框ＭＮ边刚进入磁场时受到安培力的大小Ｆ。

（２）线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Ｑ。

（３）线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n。

解：（1）线框ＭＮ边刚进入磁场时，感应电动势 E?Blv0?1.4V，感应电流

I?E?14A，受到安培力的大小 Ｆ=BIl?2.8N R12（2）水平方向速度为0，Q?mv0?2.45J

2（3）用“微元法”解

线框在进入和穿出条形磁场时的任一时刻，感应电动势 E?Blv0，感应电流 I?E，RB2l2v受到安培力的大小 Ｆ=BIl，得F?，

R在t??t时间内，由牛顿定律：

F?t??v mB2l2B2l2)v?t???v, ?x?v0 求和，?(mRmR解得 x?mv0R1.75?4.375，取整?1.75m，线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n=220.4Bl数为4。

练习题2.2009年高考江苏省物理卷第15题

如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为L、足够长且

电阻忽略不计，导轨平面的倾角为?。条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“

”型装置。总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流

源产生，图中未画出）。线框的边长为d（d?L），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回。导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。求：

（4） 装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q； （5） 线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1；

（6） 经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离xm。

【解答】设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框的安培力做功为W

由动能定理mgsin??4d?W?BILd?0 且Q??W

解得Q?4mgdsin??BILd

（3） 设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1，则接着向下运动2d 由动能定理mgsin??2d?BILd?0?装置在磁场中运动的合力

12mv1 2F?mgsin??F'

感应电动势??Bdv 感应电流I'??R安培力F'?BI'd

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