§12.3 一般项级数 数学分析课件（华师大 四版） 高教社ppt 华东(6)

§3 一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质

阿贝尔判别法和狄利

克雷判别法推论（阿贝尔引理）若(i)?1,?2,?,?n是单调数组,记??max{?k};k(ii)对任一正整数k(1?k?n)有?k?A,则有??vk?1nnkk?3?A.(19)证由(i)知?1??2,?2??3,?,?n?1??n都是同号的. 于是由分部求和公式及条件(ii)推得

??k?1kkv?(?1??2)?1?(?2??3)?2???(?n?1??n)?n?1??n?n?A(?1??2)?(?2??3)???(?n?1??n)?A?n?A?1??n?A?n?A(?1?2?n)?3?A.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3 一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质

阿贝尔判别法和狄利

克雷判别法现在讨论形如

?anbn?a1b1?a2b2???anbn??级数的收敛性的判别法.

定理12.15（阿贝尔判别法）(20)若{an}为单调有界数列,且级数?bn收敛, 则级数(20)收敛.

证由于数列{an}单调有界,故存在M?0,使an?M.数?,存在又由于?bn收敛,依柯西准则，对任意正正数N,使当n >N 时,对任一正整数p,都有

n?pk?n?b数学分析第十二章数项级数高等教育出版社k??.§3 一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质

阿贝尔判别法和狄利

克雷判别法(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到

n?pk?n?ab这就说明级数(20)收敛.

kk?3M?.定理12.16（狄利克雷判别法）且liman?0,又级数?bn若数列{an}单调递减, n??的部分和数列有界, 则级数(20)收敛.

证由于?bn部分和数列Vn??bn有界,故存在正

k?1n数M, 使|Vn|?M,因此当n, p为任何正整数时,

数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3 一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质

阿贝尔判别法和狄利

克雷判别法|bn?1?bn?2???bn?p|?|Vn?p?Vn|?2M.又由于数列{an}单调递减, 且liman?0,对???0,n??19）式得到?N,当n?N时，有an??.于是根据（|an?1bn?1???an?pbn?p|?2M(|an?1|?2|an?p|)?6M?.有了阿贝尔判别法就知道: 若级数?un收敛, 则

un级数?p(p?0),n数学分析第十二章数项级数高等教育出版社?un都收敛.n?1§3 一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质

阿贝尔判别法和狄利

克雷判别法例3若数列{an}具有性质:

a1?a2???an??,liman?0,n??则级数?ansinnx和?ancosnx对任何x?(0,2?)都收敛.

解因为

nx?1x?3x??2sin???coskx??sin??sinx?sin???2?2k?12?22??1????1?1?????sin?n??x?sin?n??x??sin?n??x,2?2?2??????数学分析第十二章数项级数高等教育出版社

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