《统计学原理》教案(9)

F（x）

X=-5 0 X=5

图4—9 不同平均数的正态分布

5. 当X→±∞时，密度函数f（x）→0，即曲线向两边下垂，伸向无穷远处。 F（x） σ=0.5 σ=1 σ=2 x 图4—10 不同标准差的正态分布

二、 正态分布函数及其标准化 根据正态分布密度函数f（x）为：

f?x??1?2?e?x?x??2/2?2 (4.50)

可以看出正态分布的函数F（x）为：

x F?x?????f?x?dx?1x?2??e???x?x??22?2dx (4.51)

可以证明作为分布函数的两个基本性质： 第一，

对于任何有x，有 f?x??其二，

11?2?e?x?x??2/2?2?0 (4.52)

??2??e???x?x??2/2?2dx?1 (4.53)

令 t??x?x? , dx?2?2?dt

则

?12???e???x?x??2/2?2dx?1??12???e??2?t22?dt

???e???tdt?1

正态分布的密度函数和分布函数的图形对比见图4—11和图4—12。 f（x） F（x） 1 0.5 x

x X 图4-11正态密度函数图 图4-12 正态分布函数图

利用正态分布函数可以计算x落在区间（x－a，x+a）之间的概率，即： P?x?a?x?x?a??P?x?x??a ?1x?a?2??x?ae?x?x??2/2?2dx (4.54)

不同现象的随机变量就有不同的平均差和方差，不同的正态分布参数也就有不同的正态分布形式，要利用上述分布函数F（x）对各类不同的正态分布求某点或某区间的概率是很困难的。为此我们需要对各种正态分布加以标准化，使不同的正态分布变换为具有相同参数的标准正态分布。标准正态分布要求：第一，分布的平均数（数学期望）为0：第二，分布的方差为1。现在我们对随机变量x作下列变换使新的随机变量z等于：

z?x?x?

?x?x?E?x??x???0 则 E?z??E????????x?x?x?x???? ?2?z??E??E???????????2?x?x?? ?E??????2 ?1?2Ex?x??2???22?1

所以，标准状态分布的密度函数f（z）为： f?z??12?e?z/22 (4.55)

标准正态分布的分布函数F（z）为： F?z??并简记为N（0，1）。

标准正态分布的几何意义是将分布曲线的中心移到原点，使z?0，并对x?x的离差化为以σ为单位的相对离差，即σ作为新变量z的计量单位。将标准正态

密度函数和标准正态分布函数图形比较如图4—13、图4—14。

f（z） F（z） 1 0.5 Z Z

0 0

图4-13 标准正态密度函数 图4-14 标准正态分布函数

12?z?e???z/22dx (4.56)

在统计推断中，常常需要求解变量离中心±z间的概率，即变量落在（-z，z）

区间的概率，并且考虑到正态分布的对称性，则所要求的概率积分可以给出如下形式：

F?z??P??z?Z?z??P?Z?z??22??ze?z/22dx (4.57)

0这就是标准正态分布概率积分的标准式。由此可知，标准正态分布函数F（z）是z的函数。给定z值就有相应的F（z）。为了应用上的方便，把z从0—5相应的概率编成正态分布概率表，列于本书的附表中，实际工作可以直接查用，不必计算概率积分。

如果所研究的随机变量服从于标准正态分布（0，1），则可以直接查用概率表，从给定的z值查所需的概率，或从给定的概率反查相应的z值。

1. 求Z距中心的绝对值不超过a的概率，如图4-15所示的阴影部分。就

可以从概率表中查出当z=a时，对应的F（a）值。例如： 当： z=0.5，F（0.5）=0.3829

z=1.0，F（1.0）=0.6827

z=2.0，F（2.0）=0.9545 等。

f（z） Z -a 0 a

图4-15 正态分布图

2. 给定F（z），求z距中心的绝对值a。例如 给定： F（z）=0.1585， z=0.2 F（z）=0.8030， z=1.29

F（z）=0.9973， z=3.0 等。 如果所研究的随机变量服从于一般态度分布N?x,?2?，要估计变量x与平均

数x的离差绝对值不大于某数a的概率，或变量x落于?x?a,x?a?区间的概率。根据正态分布标准化的要求，第一步将x变换为新变量z，使 z?二步将区间?x?a,x?a?相应变换为????aa?? ??x?x? ：第

?, 即（-z，z），然后根据标准正态分

布函数计算新区间的概率。

【例4-7】某农场的小麦亩产量服从正态分布，已知平均亩产为550公斤，标准差为50公斤，求亩产在525～575公斤间所占的比例。

根据正态分布标准化的要求，令z?x?x??x?55050，按题意要求x落在

?x?a,x?a?区间的概率，这里

?aa?,????0.5,0.5? ??????a=25公斤，所以新变量z的区间相应为

。当z=0.5，查概率表得：

?25?? ?50? P?525?x?575??P?x?550?25??F? ?F?0.5??0.3829

即约有38.29%的亩产量在525—575公斤之间。

【例4-8】解放军战士的身高是按正态分布的，经抽查平均身高175公分，标准差4公分，现在军服厂要裁制1000000套军服,问身高在171～179公分之间应裁几套?

根据正态分布标准化的要求z?x?x?44?1 ,查概率表则有：

?P?171?x?179??P?x?175?4??F?1??0.6827

即身高在171～179公分之间需裁制100000×0.6827=68270（套）。 三、 关于正态分布的定理

单变量的概率分布，包括单变量的正态分布，我们已经讨论过了，但是不论是样本平均数x还是样本成数p，都是多变量和的运算结果，例如样本容量为n的样本平均数x是n个变量和的平均，因而要估计x落在某一区间的概率就要考虑n个变量和的分布，显然它比单变量的分布要复杂得多，以下关于正态分布的两个定理帮助我们解决这个难题。

㈠正态分布再生定理

如果变量X服从于其总体平均数为X、总体标准差σ（X）的正态分布，即总体变量X服从正态分布N?X,?2?X??，则从这个总体中抽取容量为n的样本平均数x也服从于正态分布，其平均数E?x?仍为X，其标准差??x???，即样本平均数x服从于正态分布N（X，μ2）。而标准随机变量z?x?X? 则服从于标准

正态分布N（0，1）。

这条定理表示，只要总体分布是正态的，则不问样本单位数n是多少，样本平均数都服从正态分布，分布的中心不变，而标准差即抽样误差则视重置抽样或不重置抽样分别为

??Xn? 或

?2?X??nn??1?? ，它们比总体标准差都大大缩

N??小了，因而样本平均数的分布是更加集中于总体平均数周围。

㈡中心极限定理

如果变量X分布的平均数X和标准差σ（X）都是有限的数，则从这个总体所抽取的容量为n的样本，样本平均数x的分布随着n的增大而趋近于平均数X、标准差为σ（x）=μ的正态分布，即样本平均数趋近于正态分布N（X，μ2）。而样本变量 z?x?X? 则趋近于标准正态分布N（0，1）。

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