《统计学原理》教案(6)

准差和变异系数。

全距是测定标志变异程度的最简单的指标，它是标志的最大值和最小值之差，反映总体标志值的变动范围。用公式表示为：

全距＝最大标志值－最小标志值

从计算可知，全距仅取决于两个极端数值，不能全面反映总体各单位标志值变异的程度，也不能拿来评价平均指标的代表性。

平均差是各单位标志值对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，反映的是各标志值对其平均数的平均差异程度。其计算方法有简单和加权两种形式。 标准差是总体中各单位标志值与算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，又称为均方差。它是测定标志变动程度的最主要的指标。标准差的实质与平均差基本相同，只是在数学处理方法上与平均差不同，平均差是用取绝对值的方法消除离差的正负号然后用算术平均的方法求出平均离差；而标准差是用平方的方法消除离差的正负号，然后对离差的平方计算算术平均数，并开方求出标准差。标准差的计算也有简单和加权两种形式，计算公式如下：

σ=； σ=

变异系数是以相对数形式表示的变异指标。它是通过变异指标中的全距、平均差或标准差与平均数对比得到的。常用的是标准差系数。变异系数的应用条件是：当所对比的两个数列的水平高低不同时，就不能采用全距、平均差或标准差进行对比分析，因为它们都是绝对指标，其数值的大小不仅受各单位标志值差异程度的影响，而且受到总体单位标志值本身水平高低的影响；为了对比分析不同水平的变量数列之间标志值的变异程度，就必须消除数列水平高低的影响，这时就要计算变异系数。

变异系数反映的是单位平均水平下标志值的离散程度，因而通过计算变异系数为水平高低不同的两个数列提供了对比的基础。标准差系数的计算方法如下

例3、两种不同水稻品种，分别在5个田块上试种，其产量如下：

甲 品 种 田块面积（亩） 产 量 （公斤） 乙 品 种 田块面积（亩） 产 量 （公斤） 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 600 495 445 540 420 1.5 1.4 1.2 1.0 0.9 840 770 540 520 450 要求：假定生产条件相同，确定哪一品种具有较大稳定性，宜于推广。 解：

甲 品 种 X 500 450 445 600 525 合计 注：

⑴

f 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 xf 600 495 445 540 420 — -50 -55 100 25 — 2750 3025 9000 500 x f 1.5 1.4 1.0 1.2 0.9 乙 品 种 xf 840 770 520 540 450 40 30 — -70 -20 2400 1260 — 5880 360 9900 5.0 2500 — 560 550 520 450 500 合15275 计 6.0 3120 —

⑵

⑶因V乙

故乙品种具有较大稳定性，宜于推广。

第五章 抽样推断

教学目的和要求：

通过本章学习，要对抽样推断的特点、作用及一些基本概念有正确的理解。掌握抽样推断的抽样平均误差、极限误差的计算方法。在此基础上，能运用抽样推断的一般原理，对全及总体的指标值作出具有一定概率保证程度的推断，并能正确进行相应的假设检验。

统计是研究总体的，总体中包含若干个总体单位。但在很多情况下我们不可能或没有必要对总体中包含的所有单位进行观察。例如，城乡居民家庭收支情况、森林木材蓄积量、某些产品的性能和使用寿命检验等。因此只能在了解部分单位情况的基础上对总体进行统计推断。

所谓统计推断是按随机原则从总体中抽取部分单位作为样本，利用样本资料所提供的信息对总体数量规律做出科学推论的一种统计分析方法。根据统计推断所研究问题的侧重点不同，具体分为参数估计（Parameter estimation）和假设检验（Hypothesis testing）。参数估计是在未知总体数量特征情况下，根据样本数据对总体数量特征做出科学的估计；假设检验是根据样本数据对事先为总体数量特征做出的某种假设进行验证，来判断这种假定的真伪。参数估计和假设检验所依据的基本理论是相同的，即都是抽样分布理论。

第一节 抽样分布中的几个基本概念

一、总体与样本

总体（Population）是研究对象的全体，它是由许多具有某种相同性质的个体单位组成的，总体中所包含的单位数用N表示。总体各单位的标志值用X1，X2，X3，?，XN表示。在统计推断中，总体又分为目标总体和抽样总体。目标总体是统计推断所要估计的总体；而被抽样总体是直接从中抽取样本单位的总体，又称为作业总体。两者有时是一致的，有时是不一致的。例如，对某种待出厂的产品进行质量检验，目标总体和被抽样总体都是该种产品的全部；而对我国某种产品在国际市场上的销售情况进行研究，目标总体是在国际市场销售该种商品的全部，被抽样总体只能是在指定地点和时间条件下销售的该种商品，目标总体和作业总体是不一致的。这种情况下，要特别注意作业总体的确定，作业总体确定的基础原则就是从作业总体中抽取的样本能基本上反映目标总体的情况。

样本（Sample）是从总体中随机抽取的n个单位组成的集合体，对这n个某项标志进行观察所得的数据（x1，x2，?，xn）称为样本观察值。从总体中抽

取样本要采取一定抽样组织方式，主要有简单随计抽样、系统抽样、分层抽样和整群抽样等。其中简单随机抽样是最基本的，但这种方式的使用往往是建立在其他几种方式的基础之上。简单随机抽样一般适用于总体单位数较少、情况较简单的现象；而对于总体单位数较多、情况较复杂的现象，就需要采用其他几种抽样组织方式特别是一些社会经济问题的研究。关于抽样组织方式我们要在本章的第四节介绍。在确定了抽样组织方式基础上，还有一个抽样方法即重复抽样和不重复抽样的问题。

作为统计推断对象的总体是确定的，惟一的；而作为观察对象的样本，是不确定的，随机的。

二、总体参数与样本统计量 总体的数量特征就是总体参数，简称参数，因为总体是确定的、惟一的，所以参数也是惟一的、确定的，而且在抽样推断前是未知的，例如，总体平均数、总体比率、总体方差等。样本统计量是样本的数量特征，是根据样本构造出的，统计量是样本的函数，所以统计量也是随机的。与总体参数相对应，常使用的样本统计量有；样本平均数、样本比率、样本方差等。

三、样本容量与样本个数

样本容量是样本中所包含的单位数，一般用n表示，当n﹥30时称为大样本，当n≤30时称为小样本。某些情况下，样本容量不同，其抽样分布也不同。样本个数的多少与样本容量、抽样方法和抽样组织方式等因素有关。

四、抽样方法

样本有三种，即方便样本、判断样本和随机样本。在此讨论的抽样方法是指随机样本的抽取方法。根据从总体中随机抽取某一单位后是否将其放回到总体中去参加下一次抽取，抽样方法可分为重置抽样和不重置抽样。若放回，就是重置抽样；若不放回，就称为不重置抽样。重置抽样的特点是：n个单位的样本是由n次连续抽取的结果构成的；每次抽取的结果与前一次和后一次的结果无关，即每一次抽取都是相互独立的；每次抽取中被抽中的机会是均等的。因此，重置抽样下每次抽取都是在总体N个单位中进行的，同一单位有重复被抽取的可能。不重置抽样的特点是：n个单位的样本是由n次连续抽取构成的，但由于每次抽取不重复，因此相当于从总体中同时抽取n个单位样本；每次抽取的结果是不独立的，上一次抽取的结果影响下一次的抽取；每个单位在每次抽取时中选机会是均等，但在不同次抽取中中选机会是不均等的。因此，不重置抽样每次抽取都是在（N－m）个单位中进行的，其中m是已经抽取的单位数，这样同一个单位就没有重复中选的可能。很显然，在样本容量相同情况下，重置抽样的样本个数多于不重置抽样的样本个数，而不重置抽样的样本代表性高于重置抽样。

另外，根据从总体中抽取的n个样本单位的方法，按照是否考虑中选顺序可以分为考虑顺序抽样和不考虑顺序抽样。考虑顺序抽样是指从总体中抽取n个样本单位构成样本，不仅要考虑样本各个单位的不同性质，还要考虑各单位的中选顺序。相同性质单位构成的样本，由于中选的先后顺序不同，就作为不同的样本。不考虑顺序抽样，只考虑样本的组成单位性质如何，而不考虑单位中选的先后顺序，只要样本单位性质相同，各个单位中选顺序不同，也视为一个样本。

在社会经济现象和企业管理问题研究中，常使用的是不考虑顺序的不重置抽样。

第二节 抽样分布

抽样分布就是样本统计量的概率分布。所谓样本统计量是指样本指标，它是定义在一个样本空间上的样本随机变量的函数。一个样本可以构造出去多统计量，如样本平均数、样本成数、样本方差等等，根据统计推断的需要而定。而且统计量的观察值是建立在随机抽样的基础上，随着抽到的样本单位不同，其观察值也会有变化，统计量的取值也随之变化，所以统计量本身也是随机变量。从同一总体中抽出样本容量相同的所有可能样本后，计算每个样本统计量的取值和相应的概率，就组成样本统计量的概率分布，简称抽样分布。

统计量的取值不但和样本容量有关，而且和抽样方法（试验方法）有关，我们从最简单的情况入手。本节讨论简单随机样本，重置试验的抽样分布和不重置试验的抽样分布。

一、 重置抽样分布 ㈠样本平均数的分布

样本平均数是由总体中全部样本平均数的可能取值和与之相应的概率组成。先举例说明。

某施工班组5个人的日工资为34、38、42、46、50元，则： 总体工人日平均工资

X??xN?34?38?42?46?505?42（元）

总体日工资方差

??X??2?34?42??38?42??46?42??50?42?2?2?2?25?32?元?2

现在用重置抽样的方法从5人中间随机抽2个构成样本，并求样本平均工资来推断总体的平均工资水平。由于是重置抽样，所以第一个单位是从总的5种工资中取第一种，第二单位也是从同一总体的5种中取一种，共有25个样本，各样本的日平均工资如表4-1所示。

表4-1 样本日工资平均数 单位：元

样本变量 34 38 42 46 50 34 34 36 38 40 42 38 36 38 40 42 44 42 38 40 42 44 46 46 40 42 44 46 48 50 42 44 46 48 50 从上表容易看出样本的平均数及其次数，可以整理列出样本平均数的分布表以及图示如下：

根据以上资料，可以计算样本日工资平均数的平均数E?x?和样本日工资平均数的方差?2?x?。

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