最优控制课程设计报告
1. 共轭梯度法
定义1 设是对称正定矩阵。称是A-共轭的，是指
性质1 设有是彼此共轭的维向量，即
则一定是线性无关的。
性质２ 设向量一组向量
，而
是线性无关的向量组，则可通过它们的线性组合得出
是两两共轭的
2．共轭方向的构造
定理1 （共轭方向构造方法） 设f(X)?1TXQX?bTX?c,Q正定,X0是初始点P0???f(X0),Xk?1? 2Xk??kPk,k?0,1,?,m?1,?k是最优步长，且
Pk?1???f(Xk?1)?akPk
?f(Xk?1)TQPk其中 ak?
PkTQPk那么，P0,P1,?,Pm?1是关于Q的共轭向量组。
在定理1所给出的共轭方向的构造方法中，需要用目标函数的Hesse矩阵来计算线性组合系数ak，这使得计算量和存贮量都增加许多。为简化计算并减少存贮量，我们在下面介绍有关ak的另一个等价的计算公式，不需要计算Hesse矩阵。
定理2 （ak的简化公式） 在定理1条件下，ak可简化为
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2?f(Xk?1)T?f(Xk?1)?f(Xk?1) ak? ?2T?f(Xk)?f(Xk)?f(Xk)
3．共轭梯度法算法[10]
当目标函数是具有正定Hesse矩阵的二次函数，且每次迭代所依据的步长?k都是精确的最优步长时，按定理4.8的方法构造搜索方向Pk+1进行搜索，最多可在n步之内达到极小点。但是如果上述两条件之一不满足，情况就可能会有所变化。注意到在定理4.9的证明中，有
?f(Xk?1)TPk?1??f(Xk?1)T(??f(Xk?1)?akPk) ???f(Xk?1)?ak?f(Xk?1)Pk2T
如果
Xk?1不是按精确的最优步长所生成，那么
T?f(Xk?1)TPk?1不是下降方向。另外，若目标函k?0,有可能使?f(Xk?1)Pk?1?0，导致P数不是具有正定Hesse矩阵的二次函数，在仅仅n次迭代后一般都不可能达到精确的极小点。这时，需要令当前所得的点Xn(或Xn?1)为初始点，重新进行新一轮迭代。下面所给的算法，称之为Fletcher-Reeves共轭梯度法。 Fletcher-Reeves共轭梯度法的算法步骤： 设f(X)可微,X0为初始点。 （1）P0???f(X0),k?0； （2）求解一维搜索问题
minf(Xk??Pk), s.. t??0设?k是最优步长，令
Xk?1?Xk??kPk；
（3）如果Xk?1满足终止准则，输出Xk?1，计算停止；否则，转（4）； （4）如果k=n-1，令X0?Xk?1,k?0转（1）；否则，转（5）；
（5）令
ak??f(Xk?1)?f(Xk)22
Pk?1???f(Xk?1)?akPk
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（6）如果?f(Xk?1)TPk?1?0,令X0?Xk?1转（1），否则，k?k?1，转（2）。 注：第（4）步中，也可以取k?n 4．算法性质与评价
理论与计算实践都表明，Fletcher-Reeves共轭梯度法是一种较为理想的无约束最小化算法，它具有如下良好的性质：
（1）具备有限收敛性，当应用于n元正定二次目标函数时，最多n次可达到精确极小点；
（2）算法产生的点列收敛于平稳点，且收敛速度是超线性的，优于最速下降法（但低于Newton法）；
（3）对初始点的要求不太高，优于Newton法（但比最速下降法略差）；
（4）不进行矩阵运算，对存贮量要求少，优于Newton法，而与最速下降法相似。 对于大型的变量较多的非线性规划问题，采用Fletcher-Reeves共轭梯度法较为适应。
5.2 液体搬运系统的最优控制
从第三章中我们知道液体搬运过程中当输入信号为三角波、正弦波、矩形波、梯形波等具有代表性的波形时，液体振动都相当明显，这就给这就给铸造等行业带来诸多不便，因为在铸造行业的浇铸过程中，溶液的浇铸是一项非常危险的作业。由于溶液温度的降低会影响铸件的品质，所以要求浇铸过程要在最短时间内完成。因此我们可以设计一套控制方式使液体在搬运过程中尽可能的少振动或不振动。
在第二章中我们建立液体搬运系统的数学模型，模型表达式如式(5.1)：
1?0??0?1Tmx????x0?0?1?0?Tmx?评价函数为：
001g?l0??0???K?0??mx???Tmx?? （5-1） ?x??0??0?c??Kmx?????m??Tmxl? 28
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J?X(tf)W(tf)??x(t)W1x(t)dt （5-2）
t0TtfT其中：
X(tf)???1.5?x0(tf)x1(tf)x2(tf)x3(tf)??
表示终端条件，
W?diag[10为权重矩阵，而
610610610]
6x(t)?[x2x3]
为中间条件，以保证罐在移动过程中液体的振角最小。
W1?diag[500500]
亦为为权重矩阵。
利用FR（Fletcher-Reeves）法计算该非线性系统的最优输入。下面我们将对最优控制部分的仿真结果分为带有积分环节和不带积分环节两种情况加以讨论：
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5.2.1不带积分环节的最优控制
6]m[4encatsDi2002468101214161820t[s]0.6]0.4s/m[de0.2epS0-0.202468101214161820t[s]20]10dar[e0glnA-10-2002468101214161820t[s]4]v[2egatolV0-202468101214161820t[s]图5-1 时间为4S时不带积分环节的最优控制的仿真结果
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