2014南昌中考数学试题（解析版）(4)

点评： 此题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质和平行线的判定，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题． 23．（8分）（2014?南昌）如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP． （1）求△OPC的最大面积； （2）求∠OCP的最大度数； （3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．

考点： 切线的判定与性质． 分析： （1）在△OPC中，底边OC长度固定，因此只要OC边上高最大，则△OPC的面积最大；观察图形，当OP⊥OC时满足要求； （2）PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得； （3）连接AP，BP通过△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC，从而求得PC是⊙O的切线． 解答： （1）解：∵AB=4， ∴OB=2，OC=OB+BC=4． 在△OPC中，设OC边上的高为h， ∵S△OPC=OC?h=2h， ∴当h最大时，S△OPC取得最大值． 观察图形，当OP⊥OC时，h最大，如答图1所示： 此时h=半径=2，S△OPC=2×2=4． ∴△OPC的最大面积为4． （2）解：当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如答图2所示： ∵tan∠OCP===， ∴∠OCP=30° ∴∠OCP的最大度数为30°． （3）证明：如答图3，连接AP，BP． ∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD， ∵=∴=， ， ∴AP=BD， ∵CP=DB， ∴AP=CP， ∴∠A=∠C ∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD∠C， 在△ODB与△BPC中 ， ∴△ODB≌△BPC（SAS）， ∴∠D=∠BPC， ∵PD是直径， ∴∠DBP=90°， ∴∠D+∠BPD=90°， ∴∠BPC+∠BPD=90°， ∴DP⊥PC， ∵DP经过圆心， ∴PC是⊙O的切线． 点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．（12分）（2014?南昌）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）．

第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G； 第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H； 依次操作下去… （1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为 等边三角形 ，求此时线段EF的长； （2）若经过三次操作可得到四边形EFGH． ①请判断四边形EFGH的形状为 正方形 ，此时AE与BF的数量关系是 AE=BF ； ②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围；

（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．

考点： 几何变换综合题． 分析： （1）由旋转性质，易得△EFD是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理求出EF的长； （2）①四边形EFGH的四边长都相等，所以是正方形；利用三角形全等证明AE=BF； ②求面积y的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及y的取值范围． （3）如答图2所示，经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，可能是正多边形，最大边数为8，边长为4﹣4． 解答： 解：（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则△DEF为等边三角形． 在Rt△ADE与Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL） ∴AE=CF． 设AE=CF=x，则BE=BF=4﹣x ∴△BEF为等腰直角三角形． ∴EF=BF=（4﹣x）． ∴DE=DF=EF=（4﹣x）． 2222在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE+AD=DE，即：x+4=[解得：x1=8﹣4，x2=8+4（舍去） （4﹣x]， 2∴EF=（4﹣x）=4﹣4． DEF的形状为等边三角形，EF的长为4﹣4． （2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF．理由如下： 依题意画出图形，如答图1所示： 由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH的形状为正方形． ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3． ∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠2=∠4． 在△AEH与△BFE中， ∴△AEH≌△BFE（ASA） ∴AE=BF． ②利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形， ∴BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4﹣x． ∴y=S正方形ABCD﹣4S△AEH=4×4﹣4×x（4﹣x）=2x﹣8x+16． ∴y=2x﹣8x+16（0＜x＜4） 22∵y=2x﹣8x+16=2（x﹣2）+8， ∴当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16， ∴y的取值范围为：8≤y＜16． （3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为4﹣4． 如答图2所示，粗线部分是由线段EF经过7次操作所形成的正八边形． 22 设边长EF=FG=x，则BF=CG=BC=BF+FG+CG=x+x+x， ﹣4． x=4，解得：x=4点评： 本题是几何变换综合题，以旋转变换为背景考查了正方形、全等三角形、等边三角形、等腰直角三角形、正多边形、勾股定理、二次函数等知识点．本题难度不大，着重对于几何基础知识的考查，是一道好题． 25．（12分）（2014?南昌）如图1，抛物线y=ax+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．

（1）抛物线y=x对应的碟宽为 4 ；抛物线y=4x对应的碟宽为 对应的碟宽为

；抛物线y=a（x﹣2）+3（a＞0）对应的碟宽为 2

2

2

2

2

；抛物线y=ax（a＞0） ；

2

（2）抛物线y=ax﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；

（3）将抛物线y=anx+bnx+cn（an＞0）的对应准蝶形记为Fn（n=1，2，3…），定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn﹣1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1． ①求抛物线y2的表达式；

②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn，则hn= 2+ ，Fn的碟宽有端点横坐标为

2

；F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若

不是，请说明理由．

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