1.3函数的基本性质 第1课时函数的单调性
1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)
2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 3．会求一些具体函数的单调区间．(重点) [基础·初探]教材整理1 增函数与减函数的定义
阅读教材P27～P28，完成下列问题． 增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D条件 上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时 都有f(x1)＜f(x2) 结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 都有f(x1)＞f(x2) 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图示 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为f(－1)
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( )
【解析】(1)×.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性． (2)√.由减函数的定义可知f(0)>f(1)． ?x＋1，x∈?1，2]
(3)×.反例：f(x)＝?
?x－1，x∈?2，3?.
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【答案】 (1)× (2)√ (3)× 教材整理2 函数的单调性与单调区间 阅读教材P29第一段，完成下列问题． 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．
【解析】 因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．
【答案】 (－∞，1) [小组合作型]
求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还
是减函数．
?2x＋1，?x≥1?1
(1)f(x)＝－x；(2)f(x)＝?(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
?5－x，?x<1?；
【精彩点拨】(1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间．
1
【自主解答】(1)函数f(x)＝－x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
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2－x＋2x＋3，x≥0?2
?(3)因为f(x)＝－x＋2|x|＋3＝ 2
?－x－2x＋3，x<0.
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)． f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数． 1．求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；
(2)利用函数的图象，如本例(3)．
2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)． [再练一题]
1．函数f(x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________.
【解析】因为函数f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，所以f(x)的单调减区间为(a，＋∞)．
【答案】(a，＋∞)
(1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．f(x)＝3－x 1
B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝x D．f(x)＝x2＋2x x2
(2)用单调性定义证明函数f(x)＝2在区间(0,1)上是减函数．
x－1
【精彩点拨】 (1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断． (2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．
【自主解答】 (1)A.f(x)＝3－x在(0，＋∞)上为减函数．B.f(x)＝(x－1)2是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，它的单调增区间为(1，＋∞)，所以它1
在(0，＋∞)上不为单调函数．C.f(x)＝x在(0，＋∞)上为减函数．D.f(x)＝x2＋2x是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝－1，则它的单调递增区间是(－1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上为增函数．
【答案】D
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(2)设x1，x2∈(0,1)且x1＜x2，则
2
x2?x2－x1??x2＋x1?x2x22－x112
f(x1)－f(x2)＝2－2＝2＝.
x1－1x2－1?x1－1??x22－1??x1－1??x1＋1??x2－1??x2＋1?
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.∵x1，x2∈(0,1)，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
x2
所以，函数f(x)＝2在区间(0,1)上是减函数．
x－1利用定义证明函数单调性的4个步骤
11
[再练一题]2．已知函数f(x)＝a－x，用单调性定义证明f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.
【证明】 设任意x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0.
?11??11?11x2－x1
∵f(x2)－f(x1)＝?a－x?－?a－x?＝x－x＝xx>0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在
?2??1?1212(0，＋∞)上是单调递增函数． [探究共研型]
探究1若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？
【提示】若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a 探究2若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是什么？ 【提示】因为函数f(x)＝x2－2ax＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，所以其单调增区间为(a，＋∞)，由题意可得(2，＋∞)?(a，＋∞)，所以a≤2. 第 4 页 共 16 页 (1)f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，a∈R，则( ) A．f(a)＜f(2a) C．f(a2＋1)＜f(a) B．f(a2)＜f(a) D．f(a2＋a)＜f(a) (2)如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为( ) A．b＝3 C．b≤3 B．b≥3 D．b≠3 【精彩点拨】 (1)先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可． (2)分析函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象和性质，利用二次函数的单调性即可得出b的取值范围． 【自主解答】 (1)因为a∈R，所以a－2a＝－a与0的大小关系不定，无法比较f(a)与f(2a)的大小，故A错；而a2－a＝a(a－1)与0的大小关系也不定，1?23?a－?也无法比较f(a)与f(a)的大小，故B错；又因为a＋1－a＝＋＞0，所以2???4 2 2 a2＋1＞a.又f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f(a2＋1)＜f(a)，故C对；易知D错．故选C. (2)函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线， 若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C. 【答案】(1)C (2)C 1．函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围． 2．已知函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． (2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解． (3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集． 第 5 页 共 16 页 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库人教A版必修一， 1.3 函数的单调性，导学案在线全文阅读。
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