这里ess是颗粒碰撞的归还系数，g0,ss是径向分布函数，?s是颗粒温度。FLUENT为ess使用默认值0.9，但是这个值能调整以适合颗粒类型。颗粒温度?s是与颗粒运动的波动动能成比例的，将在本部分的后面描述。函数g0,ss（更详细的内容下面描述）是分布函数，这个函数控制了从???s,max（这里固体颗粒之间的距离可以继续减小）的可压缩条件到???s,max（这里距离的进一步减小不会发生）的不可压缩条件。?s,max的默认值是0.63，但是在问题设置过程中你可以修改。 径向分布函数
径向分布函数g0是一个当固体颗粒相变密时用于修改颗粒之间碰撞概率的修正因子。这个函数也可解释为小球之间的无量纲距离：
（20.4.46）
这里s是颗粒之间的距离。从方程20.4.46可以观察出对稀疏固体相s??,所以g0?1。当固体相紧凑到一定限制内，
s?0andg0??。径向分布函数与非均匀气体的Chapman and Cowling’s[32]理论的?因子紧密联系。对稀有气体，
?等于1，当分子靠的非常近以致运动不可能发生时，它会逐渐增加并趋向无穷大。
文献中，径向分布函数没有统一的公式。FLUENT采用文献[167]中推荐的：
（20.4.47）
当固体相数大于1时，方程20.4.47扩展为：
（20.4.48）
这里?l,max是由你在问题的设置过程中指定的，并且
（20.4.49）
20.4.5固体剪切应力（Solids Shear Stresses）
固体应力张量包含由于平移和碰撞从颗粒的动量交换中产生的剪切和体积粘性。粘性的摩擦分量也可以包含在当固体颗粒相达到最大固体颗粒分数时出现的粘塑性变迁中。
碰撞和动能部分，可选择的摩擦部分，一起给出了固体剪切粘度：
（20.4.50）
碰撞粘性（Collisional Viscosity） 剪切粘度的碰撞部分模化为[76，235]
动力粘度（Kinetic Viscosity）
FLUENT为动力部分提供了两种表达。 默认的是Syamlal et al [235]表达：
（20.4.51）
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（20.4.52）
下面可选择的Gidaspow et al[76]表达也是有效的：
（20.4.53）
体积粘度（Bulk Viscosity）
固体体积粘度解释为颗粒压缩和扩张的抵抗力。根据Lun et al[145]它有以下形式：
（20.4.54）
注：默认时，体积粘度被设置为常数0。选择Lun et al表达或用户定义函数也是可能的。 摩擦粘度（Frictional Viscosity）
在低剪切密集流动中，固体的第二相体积分数接近于压缩极限，应力的产生主要是由于颗粒之间的摩擦。默认情况，由FLUENT计算的固体剪切粘度不解释为颗粒之间的摩擦。 如果计算中包含摩擦粘度，FLUENT使用Schaeffer’s[200]表达：
（20.4.55）
这里ps是固体压力，它也可以被指定为常数或用户定义摩擦粘度。 ?是内部摩擦角，I2D是偏应力张量的第二不变式。20.4.6颗粒温度（Granular Temperature）
第s固体相的颗粒温度是与颗粒的随机运动的动能成比例的。从动能理论得到的输运方程采用如下形式[50]：
3???[(?s?s?s)???(?s?svs?s)]?(?psI??s):?vs 2?t
??(k?s??s)???s??ls （20.4.56） 这里
?(?psI??s):?vs=the generation of energy by the solid stress tensor
k?s??s=能量扩散（k?s是扩散系数）
??s=能量的碰撞耗散
?ls=第l相液体或固体相和第s固体相之间的能量交换
方程20.4.56包含描述了颗粒能量扩散通量的k?s??s项。
能量的碰撞耗散??s代表了由于颗粒之间的碰撞在第s固体相内的能量耗散率。这项也可以由Lun et al[145]得来的表达描述：
（20.4.57）
从第s固体相到第l液体或固体相粒子速度的随机波动动能的传递由?ls[76]描述：
（20.4.58）
FLUENT当前使用颗粒温度的代数关系。这可以通过忽略输运方程中的对流和扩散获得方程20.4.56[235]。 20.4.7紊流模型(Turbulence Models)
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为了描述单相中速度及标量的紊流、波动的影响，FLUENT使用了不同类型的封闭模型，如第10章所述。与单相流动相比，多相流动动量方程中所模拟的项数是非常大的，这使得多相流模拟中的紊流模型非常复杂。 在k??模型内FLUENT提供了三种方法模拟多相流中的紊流： 1． mixture turbulence model (default) 2． dispersed turbulence model
3． Turbulence model for each phase
模型的选择依赖于你的应用中第二相紊流的重要性。 ！！注：下面给出的每一种方法的描述都是基于标准k??模型。多相修正为RNG和realizable k??模型是相似的，因此这里不在明确地给出。
混合紊流模型（Mixture Turbulence Model）
混合紊流模型是默认的多相紊流模型。它代表了单相k??模型的第一扩展，它应用于相分离，分层（或接近分层）的多相流，和相之间的密度比接近1。这种情形下，使用混合属性和混合速度捕获紊流的重要特征是足够的。 描述这个模型的kand?方程如下：
（20.4.59）
和
（20.4.60）
这里混合密度?m和混合速度vm从下式计算：
? （20.4.61）
（20.4.62）
紊流粘度?t,m从下式计算：
（20.4.63）
紊流动能的产生Gk,m由下式计算：
（20.4.64）
这些方程中的常数与Section 10.4.1中单相k??模型的描述相同。 分散紊流模型（Dispersed Turbulence Model）
当第二相的浓度稀时，分散紊流模型是合适的模型。这种情形下，颗粒间的碰撞可忽略而对第二相随机运动的起支配作用的是主相紊流的影响。所以第二相的波动量根据主相的平均特征和颗粒弛豫时间和粒子相互作用时间的旋涡给出。
当明显地有一个主连续相和其它的是分散稀释的第二相时，这个模型是适用的。 假设（Assumptions）
FLUENT中模拟紊流的分散方法涉及到以下假设：
1． 对连续相修正k??模型：连续相紊流预测是使用标准k??模型并补充包含相间紊流动量传递的附加项获得的。 2． 对离散相用Tchen-theory关系：分散相紊流量度的预测是使用均匀紊流离散粒子的Tchen传播理论获得的。 3． 相间紊流动量传递：在紊流多相流动中，动量交换项包含了分散相瞬态分布和紊流流体运动之间的关系。考虑通
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过紊流流体运动输送分散相的传播是可能的。 4． 相加权平均方法：在模拟紊流多相流的传播是平均方法的选择是有影响的。两步平均法会导致出现相体积分数的
波动。然而，当使用两步平均法加对紊流的相加权平均时，体积分数的紊流波动不会出现。FLUENT使用相加权平均，因此没有体积分数的波动引入连续方程。
连续相中的紊流（Turbulence in the Continuous Phase）
涡粘性模型常用于计算平均波动量。连续相q的雷诺应力张量采用如下形式：
这里Uq是相加权速度。
根据q相的紊流动能，紊流粘度?t,q 写出如下：
（20.4.65）
? （20.4.66）
载能紊流涡的特征时间定义如下：
（20.4.67）
这里?q 是耗散率，C??0.09。 紊流涡的长度标尺为：
（20.4.68） 紊流预测从修正的k??模型获得：
???t,q??? ??q?qkq??????q?qUqkq???????kq???qGk,q??q?q?q??q?q?kq ?q??tk??（20.4.69）
和
??t,q?q? (?q?q?q)?????q?qUq?q????(?q??q)??q(C1?Gk,q?C2??q?q)??q?q??q
?t??kq（20.4.70）
这里?kqand??q代表了分散相对连续相q的影响，Gk,q代表了紊流动能的产生，见Section 10.4.4中定义。所有其它项与单相k??模型中的有相同的意义。
?kq项可从连续相的瞬态方程获得并采用如下形式，这里M代表第二相的数量：
它可以简化为：
（20.4.71）
（20.4.72）
这里klq是连续相q的分散相l的速度的协方差（从下面的方程20.4.80计算得），vpq是相对速度，vdr是漂移速度（由
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??下面的方程20.4.85定义）。
??q根据Elgobashi et al[61]模化：
这里C3??1.2。
（20.4.73）
分散相中的紊流（Turbulence in the Dispersed Phase）
表征运动的时间和长度标尺用于估计传播（dispersion）系数,相关函数和每一分散相的紊流动能。 和作用于离散相p的惯性影响相连接的特征粒子弛豫时间定义为：
（20.4.74）
沿着颗粒轨道计算的Lagrangian积分时间标尺，主要受交叉轨道的影响[43]，定义为：
这里
（20.4.75）
（20.4.76）
（20.4.77）
这里?是平均颗粒速度和平均相对速度的夹角。这些中的两个特征时间比值写作：
（20.4.78）
根据Simonin[212],FLUENT把离散相p的紊流量度写为如下形式：
?b2??pq?? （20.4.79） kp?kq??1???pq??kpq?b??pq?2kq??1??pq??? （20.4.80） ??1Dt,pq?kpq?t,pq （20.4.81）
31?2?Dp?Dt,pq??kp?bkpq??F,pq （20.4.82）
3??3??p?b?(1?CV)??CV? （20.4.83）
????q? CV?0.5是附加的质量系数。
相间紊流动量传递（Interphase Turbulent Momentum Transfer）
多相流的紊流曳力项（方程20.4.9中的Kpq(vp?vq)）模化如下，对离散相p和连续相q：
方程20.4.84右边的第二项包含漂移速度：
20
?1?? （20.4.84）
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