?
方程20.4.7必须有合适的表达为相间作用力Rpq封闭。这个力依赖于摩擦，压力，内聚力和其它影响，并服从条件???Rpq??RqpandRpq?0.
FLUENT使用下面形式的相互作用项：
（20.4.9）
这里Kpq(?Kqp)是相间动量交换系数（described in Section 20.4.3）.
升力
对多相流动，FLUENT能包含第二相粒子（或液滴或气泡）的升力的影响。这些升力作用于粒子主要是由于主相流场的速度梯度。对大的粒子，升力更重要，但是FLUENT的模型假定粒子的直径远小于粒子间的距离。这样，对closely packed particles和非常小的粒子包含升力就不合适了。 主相q中作用于第二相p的升力由下式计算[57]：
（20.4.10）
升力Flift将会为两相添加到动量方程的右边（Flift,q??Flift,p）。
大多数情形下，升力相对于曳力是不重要的，因此不必要包含这个额外的项。如果升力是重要的（例如，如果相分离很快），包含这项是合适的。默认情况，Flift是不包含的。如果需要，升力和升力系数应为每一对相指定。
虚拟质量力
对多相流动，当第二相p相对于主相q加速时，FLUENT包含虚拟质量的影响。主相质量的惯性遇到加速的粒子（或液滴或气泡）对粒子施加一个虚拟质量力[57]：
（20.4.11）
dq相表示了从下式中派生出来的相物质时间： dt （20.4.12）
虚拟质量力FVm将会为两相添加到动量方程的右边（FVm,q??FVm,p）。
当第二相的密度远小于主相的密度时，虚拟质量影响是重要的（e.g., for a transient bubble column）。默认情况，FVm是不包含的。
FLUENT求解的方程
FLUENT求解的液-液和颗粒多相流动的方程，列举如下作为n相流动的一般情形。 连续方程
每相的体积分数从连续方程计算：
（20.4.13）
对每个第二相的这个方程的解连同体积分数的和为1的条件（由方程20.4.2给出），允许为主相体积分数计算。这种处理对液-液和颗粒流动是公用的。 液-液动量方程
流体相q的动量守恒方程为：
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???????q?qv????????vv????p???????gqqqqqqqqq?t n???????pqvpq???q?q(Fq?Flift,q?FVm,q)???Kpq(vp?vq)?mp?1 （20.4.14）
???? 这里g由于重力的重力加速度，Fq,Flift,q,andFVm,1的定义见方程20.4.7。
液体-固体动量方程
下列作品中[2，32，50，76，131，145，167，235]，FLUENT使用multi-fluid granular model来描述液体-固体的混合行为。固体相应力来自于颗粒碰撞产生的随机粒子运动和气体分子的热扩散之间的类比，并考虑了颗粒相无伸缩性。正如气体的情形，颗粒速度波动的强度决定了应力、粘度和固相的压力。与颗粒速度相关的动能被假想热能（pseudothermal）或者与粒子随机运动平方成比例的颗粒温度所描绘。 液体相的动量守恒方程相似于方程20.4.14，固体相s的为：
th???????s?sv????????vv????p??p???????gssssssssss?t n???????lsvls???s?s(Fs?Flift,s?FVm,s)???Kls(vl?vs)?ml?1（20.4.15）
这里ps是s固体压力，Kls?Ksl是液体或固体相l和固体相s之间的动量交换系数，n为相的总数，
th???Fq,Flift,q,andFVm,q的定义见方程20.4.7。
20.4.3相间交换系数（Interphase Exchange Coefficients）
从方程20.4.14和20.4.15可以看出相之间的动量交换是以液-液交换系数Kpq的值为基础的，对颗粒流动，液-固和固-固交换系数为Kls。
液-液交换系数
对液-液流动，每个第二相被假定为液滴或气泡的形式。如何把流体中的一相指定为颗粒相有着重要的影响。例如，流动中有不同数量的两种流体，起支配作用的流体应作为主要流体，由于稀少的流体更可能形成液滴或气泡。这些气泡，液-液或气-液混合类型的交换系数可以写成以下通用形式：
（20.4.16）
这里，曳力函数f对不同的交换系数模型定义不同（如下面的描述），颗粒弛豫时间?p定义为：
（20.4.17）
这里dp是p相液滴或气泡的直径。
几乎所有f的定义都包含一个基于相对雷诺数（Re）的曳力系数（CD）。这个曳力函数在不同的交换系数模型中是不同的。
1．Schiller and Naumann[202]模型：这里
（20.4.18）
12
（20.4.19）
Re 是相对雷诺数。主相q和第二相p的相对雷诺数从下式获得
（20.4.20）
第二相p和r的相对雷诺数从下式获得
（20.4.21）
这里?rp??p?p??r?r是相p和r的混合速度。 2． Morsi and Alexander 模型[163]：
(20.4.22)
这里 （20.4.23）
Re 数由方程20.4.20和20.4.21定义。a1,a2,a3定义如下：
（20.4.24）
Morsi and Alexander模型是最完善的，频繁地在雷诺数的大范围内调整函数定义，但是采用这个模型比其它模型更不稳定。 3． 对称模型
（20.4.25）
这里
（20.4.26）
（20.4.27）
（20.4.28）
Re 数由方程20.4.20或20.4.21定义。
在流动中，区域内的某个地方的第二相（分散相）变成主相（连续相）在另一个区域。例如，如果空气注入充满
13
一半水的容器的底部，在容器的底半部空气是分散相，在容器的顶半部，空气是连续相。这个模型也用于两相之间的相互作用。
你可以为每一对相指定不同的交换系数。为每一对相使用用户定义函数定义交换系数也是可能的。如果交换系数等于零（也就是，交换系数没有指定），流体的流动区域将会独立地计算，并使用这个唯一的相互作用作为每个计算单元内它们补充的体积分数。
液体-固体交换系数
液体-固体的交换系数Ksl以下面的通用形式写出：
（20.4.29）
这里f对不同的交换系数模型（如下描述）定义不同，颗粒的弛豫时间?s定义为
（20.4.30）
这里ds是s相颗粒的直径。
所有f的定义都包含基于相对雷诺数的曳力函数。这个曳力函数在不同的交换系数模型中是不同的。 1． Syamlal-O’Brien 模型[234]
（20.4.31）
这里曳力函数采用由Dalla Valle[47]给出的形式：
（20.4.32）
这个模型是基于流化床或沉淀床颗粒的末端速度的测量，并使用了体积分数和相对雷诺数的函数关系式[193]：
（20.4.33）
这里下标l是第l液体相，s是第s固体相，ds是第s固体相颗粒的直径。 液体-固体交换系数有如下形式
这里vr,s是与固体相相关的末端速度[73]：
（20.4.34）
（20.4.35） 其中
（20.4.36）
（20.4.37） （20.4.38）
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对?l?0.85， 对??0.85，
当固体相的剪切应力根据Syamlal et al定义时[235]（方程20.4.52），这个模型是合适的。 2． 对Wen and Yu模型[262]，液体-固体交换系数有如下形式：
这里，
（20.4.39）
（20.4.40）
Re 数由方程20.4.33定义。
这个模型适合于稀释系统。
3． Gidaspow模型[76]是Wen and Yu模型[262]和Ergun方程[62]的联合。 当?l?0.8时，液体-固体交换系数Ksl有如下形式：
（20.4.41）
这里
当?l?0.8时，
（20.4.42）
对密集的流化床，建议使用这个模型。 固体-固体交换系数
固体-固体交换系数Kls有如下形式[233]：
（20.4.43）
（20.4.44） 这里
els?归还系数（Section 20.4.4 中描述）
Cfr,ls?第l和第s相之间的摩擦系数
固体相颗粒（Cfr,ls?0）
dl=固体l颗粒的直径
。 g0,ls=径向分布系数（Section 20.4.4中描述）
20.4.4固体压力（Solids Pressure）
对可压缩机制下的颗粒流动（也就是，固体的体积分数小于允许的最大值的地方），固体压力独立计算，并且用作颗粒相动量方程中的压力梯度相?ps。因为Maxwellian速度分布用于颗粒，颗粒温度引入了模型，并出现在固体压力和粘度的表达式中。由于颗粒的碰撞，固体压力由动能项和第二相组成：
（20.4.45）
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