在欧拉显式方法中，FLUENT的标准的有限差分插值方案被用于前一时间步的容积分数的计算。
n?1n?q??qnV??(Unf?q,f)?0 （20.2.8）
f?t这里 n+1=新时间步的指标
n=前一时间步的指标
?q,f= face value of the qth volume fraction, computed from the first- or second-order upwind or QUICK
scheme
V=单元的容积
Uf? volume flux through the face, based on normal velocity
这个公式在每一时间步上不需要输送方程的迭代解，在隐式方案中是需要的。 ！！当欧拉显式方案使用时，时间依赖解必须计算。 隐式方案（The Implicit Scheme）
在隐式插值方法中，FLUENT的标准的有限差分插值方案用于获得所有单元的面通量 包括那些界面附近的。
n?1n?q??q?1n?1V??(Unf?q,f)?0 （20.2.9）
f?t由于这个方程需要当前时间步的体积分数值（而不是上一时间步，关于欧拉显式方案），在每一时间步内标准的标
量输送方程为每一个第二相的体积分数迭代性地求解。
隐式方案可用于时间依赖和稳态的计算。详细内容见Section 20.6.4.
20.2.7时间依赖（Time Dependence）
对时间依赖的VOF计算，方程20.2.1的求解使用显式的时间匹配方案。FLUENT自动地为体积分数方程的积分细分时间步长，但是你可以通过修改Courant数影响这个时间步长。你可以选择每一时间步更新一次体积分数，或者每一时间步内的每一次迭代更新一次。这些选择更详细的讨论见Section 20.6.12.
20.2.8表面张力和壁面粘附（Surface Tension and Wall Adhesion）
VOF模型也可以包含沿着每一对相之间的表面张力的影响。这个模型通过附加的说明相和壁面之间的接触角被增强了。
表面张力（surface Tension）
作为流体中分子之间的引力的结果，表面张力产生了。例如，考虑水中的一个气泡。在气泡内，由于其周围相邻分子的作用，作用在分子上的净力为零。然而，在表面上，净力是放射状地向内的，
跨过整个球面的径向分力的联合影响是表面收缩，因而增强了表面凹侧的压力。表面张力是一种仅作用在表面上的力，在这个例子中它必须是保持平衡的。它扮演了平衡内部放射状的分子引力和跨过表面的放射状的外部压力梯度的角色。在两种流体分离的地区，但是它们之一不是球泡的形式，表面张力的作用是通过减小界面的面积最小化自由能。
FLUENT中表面张力模型是由Brackbill et al[25]提出的连续表面力模型。用这个模型，VOF计算中附加的表面张力导致了动量方程中的源项。为了理解这个源项的起源，考虑沿着表面表面张力为常数的的特殊情况，那些地方只考虑垂直于界面的力。可以看出，跨过表面的压降依赖于表面张力系数?和通过两个半径的正交方向量度的表面曲率R1andR2：
p2?p1??(11?) （20.2.10） R1R2这里p1andp2是两种流体界面两侧的压力。
在FLUENT中，使用CSF模型公式时，这里的表面曲率是从垂直于界面的表面的局部梯度计算的。n为表面法线，定义?q为第q相体积分数的梯度。
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n???q （20.2.11）
?[25]而定义的： 表面曲率?是为了区别单位法向量n? （20.2.12） ????n??这里 nn （20.2.13） |n|表面张力也可以根据越过表面的压力跳跃写出。表面力使用散度定理可以表示为体积力。正是这个体积力成了添加给动量方程的源项。它有如下形式：
Fvol?pairsij,i?j??ij?i?i?j??j??j?j?i??i1(?i??j)2 （20.2.14）
这个表达允许在多于两相存在的单元附近力光滑地叠加。如果一个单元中只有两相，那么
?i???jand??i????j，方程20.2.14简化为：
Fvol??ij??i??i1(?i??j)2 （20.2.15）
这里?是使用方程20.2.14计算的容积平均密度。方程20.2.15显示了一个单元表面张力源项是与单元的平均密度成比例的。
注意三角形和四面体网格上表面张力影响的计算不如四边形和六面体网格的计算精确。所以表面张力影响最重要的地区应当采用四边形和六面体网格。
当表面张力的影响重要时（When Surface Tension Effects are Important）
表面张力影响重要性的决定是基于两个无量纲数：雷诺数Re和毛细数（capillary number）Ca或雷诺数Re和韦伯数（Weber number）We。当Re??1时，感兴趣的数是毛细数：
Ca??U （20.2.16） ?当Re??1时，感兴趣的是韦伯数： We???LU2 （20.2.17）
这里U是自由流速度。如果Ca??1orWe??1表面张力效应可以忽略。
壁面粘附（Wall Adhesion）
与表面张力模型联合时选择指定一个壁面粘附角在VOF模型中也是有用的。这个模型是从Brackbill et al[25]的作品中得来的。假定流体与壁面产生的接触角常用于调整壁面附近单元表面的法向，而不是加强壁面本身的边界条件。这个所谓的动力壁面边界条件导致了壁面附近表面曲率的调整。 如果?w是壁面的接触角，那么挨着壁面的实际单元的表面法向为：
?wsin?w （20.2.18） ??n?wcos?w?t n?w分别是壁面的单位法向量和切向量。?wandt这里n这个接触角与一个单元正常计算的表面法向远离壁面的联合决
定了表面的局部曲率，这个曲率常用于调整表面张力计算中的体积力项。
接触角?w壁面和壁面上界面切线的夹角，由Wall panel列表中成对的第一相里面量度，如图20.2.2所示。
Figure 20.2.2: Measuring the Contact Angle
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20.3混合模型（Mixture Model）
与VOF模型一样，混合模型使用单流体方法。它有两方面不同于VOF模型：
1． 混合模型允许相之间互相贯穿（interpenetrating）。所以对一个控制容积的体积分数?qand?p可以是0和1之间
的任意值，取决于相q和相p所占有的空间。
2． 混合模型使用了滑流速度的概念，允许相以不同的速度运动。（注，相也可以假定以相同的速度运动，混合模型
就简化为均匀多相流模型）。
混合模型求解混合相的连续性方程，混合的动量方程，混合的能量方程，第二相的体积分数方程，还有相对速度的代数表达（如果相以以不同的速度运动）。
20.3.1混合模型的连续方程（Continuity Equation for the Mixture） 混合模型的连续方程为：
??? （20.3.1） (?m)???(?mvm)?m?t?这里vm是质量平均速度：
n???v??k?1kkk vm? （20.3.2）
?m?m是混合密度：
?m???k?k （20.3.3）
k?1n?k是第k相的体积分数。
? 描述了由于气穴（described in Section 20.5）或用户定义的质量源的质量传递。 m 20.3.2混合模型的动量方程（Momentum Equation for the Mixture）
混合模型的动量方程可以通过对所有相各自的动量方程求和来获得。它可表示为
（20.3.4）
?这里n是相数，F是体积力，?m是混合粘性：
?m???k?k （20.3.5）
k?1n?vdr,k是第二相k的飘移速度：
vdr,k?vk?vm （20.3.6）
20.3.3混合模型的能量方程（Energy Equation for the Mixture）
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???混合模型的能量方程采用如下形式：
（20.3.7）
这里keff是有效热传导率（k?kt，这里kt是紊流热传导率，根据使用的紊流模型定义）。 方程20.3.7右边的第一项代表了由于传导造成的能量传递。SE包含了所有的体积热源。 在方程20.3.7中,
2vkEk?hk?? (20.3.8)
?k2p 对可压缩相；而Ek?hk是对不可压缩相的，这里hk是第k相的sensible enthalpy。 20.3.4相对（滑流）速度和漂移速度（Relative (slip)Velocity and the Drift Velocity） 相对速度（也指滑流速度）被定义为第二相（p）的速度相对于主相（q）的速度：
（20.3.9）
漂移速度和相对速度（vqp?）通
（20.3.10）
FLUENT中的混合模型使用了代数滑移公式。代数滑移混合模型的基本假设是规定相对速度的代数关系，相之间的局部平衡应在短的空间长度标尺上达到。相对速度的形式由以下给出：（20.3.11）
这里a是第二相粒子的加速度，?qp是粒子的弛豫时间。根据Manninen et al[150] ?qp的形式为
? （20.3.12）
这里dp是第二相颗粒（或液滴或气泡）的直径，曳力函数fdrag来自Schiller 和 Naumann[202]：
? 加速度a的形式为：
（20.3.13）
（20.3.14）
最简单的代数滑移公式是所谓的漂移流量模型，其中粒子的加速度由重力或离心力给出粒子的弛豫时间考虑其它粒子的存在而被修正。
注意，如果没求解滑移速度，混合模型就简化成了均匀多相流模型。除此之外，混合模型还可以为滑移速度使用其它代数滑移方法来用户定制化（用户定义函数）。详细内容见单独的UDF手册。
20.3.5第二相的体积分数方程（Volume Fraction Equation for the Secondary Phases） 从第二相p的连续方程，可以得到第二相p的体积分数方程为：
（20.3.15）
20.4欧拉模型（Eulerian Model）
单相模型中，只求解一套动量和连续性的守恒方程，为了实现从单相模型到多相模型的改变，必须引入附加的守恒方
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程。在引入附加的守恒方程的过程中，必须修改原始的设置。这个修改涉及到多相体积分数?1,?2,...?n的引入和相之间动量交换的机理。
20.4.1体积分数（Volume Fractions）
作为互相贯穿连续的多相流动的描述组成了相位体积分数的概念，这里表示为?q。体积分数代表每相所占据的空间，并且每相独自地满足质量和动量守恒定律。守恒方程的获得可以使用全体平均每一相[3]的局部瞬态平衡或者使用混合理论方法[22]。
q 相的体积Vq定义为
Vq???qdV （20.4.1）
V 这里
??q?1nq?1 （20.4.2）
q相的有效密度为
?q??q?q （20.4.3） ?这里?q是q相的物理密度。
20.4.2守恒方程（Conservation Equations）
由FLUENT求解的通用的守恒方程在这部分给出，随后是求解这些方程。 方程的通用形式（Equations in General Form） 质量守恒
q相的连续方程为
（20.4.4）
?pq表示了从第p相到q相的质量传递。从质量守恒方程可得 这里vq是q相的速度，m
（20.4.5）
??pp?0 （20.4.6） 和m动量守恒
q 相的动量平衡产生了
n??????????pqvpq)??q?q(Fq?Flift,q?FVm,q) (?q?qvq)???(?q?qvqvq)???q?p????q??(Rpq?m?tp?1（20.4.7）
这里?q是第q相的压力应变张量（stress-strain tensor）
(20.4.8)
????这里?qand?q是q相的剪切和体积粘度，Fq是外部体积力，Flift,q是升力，FVm,q是虚拟质量力，Rpq是相之间的相
互作用力，p是所有相共享的压力。
????pq?0（也就是，相p的质量传递到相q）?pq?0（也就是，， vpq?vp;如果mvpq是相间的速度，定义如下。如果m相q的质量传递到相p），vpq?vq；和vpq?vqp。
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