2014挑战中考数学压轴题_3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题(4)

2014挑战中考数学压轴题_3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题

可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．

请打开超级画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．

思路点拨

1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．

2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上．

3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．

满分解答

（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0．

所以符合题意的a1＝1．

此时y1＝－(x－1)2＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2．

将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0．

所以符合题意的a2＝4．

此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)．

（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；

第n条抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)；

所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x．

（3）①如图1，A0A1＝2．

由第（2）题得到，第n条抛物线yn＝－(x－an)2＋an的顶点坐标为(n2，n2)． 所以yn＝－(x－n2)2＋n2＝n2－(x－n2)2＝(n－x＋n2)(n＋x－n2)．

所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为An－1(n2－n,0)和An(n2＋n,0)．

所以An－1 An＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n．

②如图1，直线y＝x－2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．

图1

考点伸展

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