2014挑战中考数学压轴题_3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题

2014挑战中考数学压轴题_3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题

3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题

例1 2013年南京市中考第26题

已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m为常数，且a≠0）．

（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D． ①当△ABC的面积等于1时，求a的值

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

动感体验

请打开几何画板文件名“13南京26”，拖动y轴上表示实数a的点可以改变a的值，拖动点A可以改变m的值．分别点击按钮“m1”、“m2”、“m3”，再改变实数a，可以体验到，这3种情况下，点C、D到x轴的距离相等．

请打开超级画板文件名“13南京26”， 拖动点A可以改变m的值，竖直拖动点C可以改变a的值．分别点击按钮，可得到△ABC的面积与△ABD的面积相等的三种情形。 思路点拨

1．第（1）题判断抛物线与x轴有两个交点，容易想到用判别式．事实上，抛物线与x轴的交点A、B的坐标分别为 (m,0)、 (m＋1,0)，AB＝1．

2．当△ABC的面积等于1时，点C到x轴的距离为2．

3．当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，C、D到x轴的距离相等．

4．本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细．

满分解答

（1）由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－m)( x－m－1)，

得抛物线与x轴的交点坐标为A(m,0)、B(m＋1,0)．

因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．

（2）①由y＝a(x－m)2－a(x－m) a(x m )2

得抛物线的顶点坐标为C(m , a)．

因为AB＝1，S△ABC＝121a， 4121411AB a 1，所以a＝±8． 24

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，点C与点D到x轴的距离相等． 第一种情况：如图1，C、D重合，此时点D的坐标可以表示为(0, a)， 1

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