常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)第四章 奇解(5)

常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)

dy24) y;dx9

4

（ (y 1)2p2 y 0解： y 0为(3)的解 9

2

2(y 1)p 0(3).(y 1)2(Fp' 2(y 1)p2

"Fpp|y 0

44

0.99

2(y 1)2 2 0,Fp'| 0,

y 0

故y 0为(3)的奇解。

习题4-3

1．试求克莱洛方程的通解及其包络： y xp (p),(p 解：通解为y Cx (C),( C)

特解为x '(p),y '(p)p (p),p (x),y x (x) ( (x)).

判断y x (x) ( (x))是否为奇解。（是）

y Cx (C) 0,

x '(C) C (x) y x (x) ( (x))

x '(C) 0.

:x C,y y C (C) ( (C)), ；x '(C),y C '(C) (C)

dy

,1) (0,0).dx

故通解为y Cx (C),( C),特解为x '(p),y '(p)p (p), :x '(C).其中( "(C), '(C)) (0,0),( C

dy

), "(p) 0. dx

y C '(C) (C)克莱洛方程的包络。2试求一微分方程，使它有奇解为y sinx

解：领x C,y sinC,

(x C)2 y sinC 0,dy

y sinx,(1,cosC) (0,0),(2(x C) cosx,1) (0,0).

dx 2(x C) 0,

(x C)2 y sinx 0,

(cosx p)2(cosx p)2 2

(x C) , y sinx . y dy

2(x C) cosx 0,44 dx

xp parccosp p2

故微分方程y xp parccosp p2有奇解为y sinx.

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