常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)第四章 奇解(4)

常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)

y x2 p2

（通解）,

(x p) C(x p)特解：2 2t2 t 0 t y x2

1 u1 4

v u4v41 16162 2222

x x(1 ) x22

(1 )(1 )18 21 9 1 22 2a.y 18x 2x2

(1 )(9 )

x2

8 8x2

2 1 21

x2 1 x ax222 21

b.y 18x x 22

y 1

x,故 （特解）21

y x,dy3

(4).x (dy) 4x.

dydy332(dy) 4x x x(4 x).dxdxdx

令p

dy

dx

xt, x3t3 x2(4t x), xt3 4t x, x 1 t3

2

4t4t

dy xtd(1 ) 14 tt3d(1 ), y (1 8 t3t3t3)24t

x 1 , t3

故 （通解）821

y C, 1 t3(1 t3)2

21

1 t3

C

习题4-2

1． 利用p-判别式求下列微分方程的奇解：

dydy2

();dxdx

F(x,y,p) xp p2 y 0x2解： y

4x 2p 0 (1).y x而y

"

pp

xdpdp’

2 x为(1)的解，而Fp 2p 1|x2 1 0x|y y 4dydy44

'

2

py x

4

2

F 2 0,F

|

x2

x x 0,故y 为(1)的奇解。

4

dydy2

();dxdx

F(x,y,p) 2xp p2 y 0解： y x2不是(2)的解

2x 2p 0 (2).y 2x

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