常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)第四章 奇解

常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)

第四章 奇解

习题4-1

1．求解下列微分方程：

(1).2y p2 4px 2x2,(p 解：y

p22

dydx

);

2px x2

dp

p pdp 2p 2x 2x

dp (p 2x)dp (p 2x) 0 (p 2x)( 1) 0.

a.p 2x 0 p 2x（特解） y 2x2 4x2 x2 x2(特解）b.dp 1 0

x2

2

dp 1 p x C y

( x C) 2( x C)x x2 y

2

Cx 12C（通解）

dy

dx

(2).y pxlnx (xp)2,(p (lnx 2xp)(xdp p) 0.

);

dp22解：p xlnxdp p(lnx 1) 2xp 2xpxa.lnx 2xp 0 lnx 2xp p ln2xxlnx2lnx y lnxlnx [x( 2x2x)] y 2

2

ln2x

4

x

ln42

b.xxdp p 0 p y Clnx C2

C

y

C2

xlnx (xC)

(3).2xp 2tany p3cos2y.解：x 1tany x qtany

cos2y2q2

p2cos2y

,令q

1

dx,

,

2cosy( siny)

2q

2

2

2

q tanydq qsecy 2 tanydqdy qtany

y

cos3

q

2

dq cosysiny

q

22

y

cos3

q

dqdy

0

cosydq

tany(dq qtany) (dy qtany) 0dyq3cosy (dq qtany)(tany q3) 0

2

a.dqdy qtany 0 b.tany

2

dq

dy

qtany q Ccosy x Csiny

3

cos3y2C2

cos2yq

0 q

2

2

q

cosy

ysin x

cosy

sintany

cos2t2

cosysin3y

y

33

sin3y 2siny 2siny

2．用参数法求解下列微分方程：

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