常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)第四章 奇解(2)

常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)

2

(1)2y2 5(dy) 4dx

解：令y 由p

dy

2225cost,p sint

dy

25

25

sint,y 2cost,p

255

sint, x ,

a.当sint 0 dx y 2sint

d(2cost)

25

22sintdt

25

sint

dt x

dt C

( x C)] 2cos[( x C)]

b当sint 0 cost 1 y (2).x2 3(

dy2

) 1.dx

sht

et e tet e t

,cht ,sht

22

解：令x cht,p

dyshtshtshtsh2t

dy dx d(xht) dtdx333故

y

sh2t1

C

81

2t 2t(e e 2)d(2t) C

811t (sh2t ) C

24

22

(3).(dy) y x 0.dx

(e2t e 2t 4t) C

解：令x u,p v,y u2 v2,dy pdx2udu 2vdv vdu (2u v)du 2vdv

dv

du

2u v2v

uv

2

2 u

v2u齐次方程

令v t,u vt,

dv

t 1

2

2t 1

2t 1

tdv vdt

2dvv

dt

t vdv dt

vdv

2 2t2 t

2t 1

2t 12 2t2 t

dt

lnv

2t 1

C

2 2t2 t

2t 1

2dt C

2t t 2

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