练习5(4)

高考数学函数部分练习题,经典

11．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，将y＝f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象．

(1)求y＝g(x)的解析式及定义域； (2)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的最大值．

x―→x＋1

【解析】 (1)由已知，将函数y＝log2(x＋1)进行坐标变换， y

y― 2

y

得＝log2(x＋1＋1)， 2

y＝2log(x＋2)．

则g(x)＝2log2(x＋2)(x＞－2)． (2)F(x)＝f(x)－g(x)

＝log2(x＋1)－2log2(x＋2)(x＞－1)

x＋1x＋1

＝log2＝log2(x＋2)x＋4x＋4

x＋1

＝log2. (x＋1)＋2(x＋1)＋1

1

log2

1

(x＋1)＋＋2

x＋1

1

∵x＋1＞0，∴x＋1＋2，

x＋1

11

即(x＋1)＋2≥4，F(x)≤log＝－2，

4x＋1

1

当且仅当x＋1x＝0时取等号，

x＋1

∴F(x)max＝F(0)＝－2.

【答案】 (1)g(x)＝2log2(x＋2)(x＞－2) (2)－2 12．设f(x)＝x3＋3x2＋px，g(x)＝x3＋qx2＋r，且y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于点(0,1)对称． (1)求p、q、r的值；

(2)若函数g(x)在区间(0，m)上单调递减，求m的取值范围；

(3)若函数g(x)在区间(－∞，n]上的最大值为2，求n的取值范围． 【解析】 (1)f(x)＝x3＋3x2＋px关于点(0,1)对称的函数为：y＝x3－3x2＋px＋2，∴p＝0，q＝－3，r＝2.

(2)由(1)知g(x)＝x3－3x2＋2，g′(x)＝3x2－6x， ∴当g′(x)＝3x2－6x＞0，

即x＞2或x＜0时，g(x)是增函数， 当g′(x)＝3x2－6x＜0，

即0＜x＜2时，g(x)是减函数，

所以g(x)在(0，m)上单调递减的充要条件为： 0<m≤2.

(3)由(2)得：当x＝0或x＝3时，g(x)＝2， ∴n的取值范围是0≤n≤3.

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