离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案(3)

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案

进而IA f IA IA，因此f IA. 所以若f的逆映射存在，满足条件的f不存在.

6.设f:A B,g:B C. 若f和g是满射，则f g是满射，试证明.

证 因为f是满射，所以f(A) B. 又因为g是满射，所以g(B) C. 于是(f g)(A) g(f(A)) g(B) C，因此f g是A到C的满射.

另证 对于任意z C，因为g是满射，于是存在y B使得g(y) z. 又因为f是满射，存在x A使得f(x) y. 因此，(f g)(x) g(f(x)) g(y) z，所以f g是A到C的满射.

7.设f:A B,g:B C. 试证明: 若f g是单射，则f是单射. 试举例说明，这时g不一定是单射.

证 对于任意x1,x2 A，假定f(x1) f(x2)，则显然g(f(x1)) g(f(x2))，即(f g)(x1) (f g)(x2). 因为f g是单射，所以x1 x2，于是f是单射.

例如A {a,b}，B {1,2,3}，C { , , , }，令f(a) 1,f(b) 2，g(1) ,g(2) ,g(3) ，则显然有(f g)(a) g(f(a)) g(1) , (f g)(b) g(f(b)) g(2) , 于是f g是A到C的单射，但g显然不是单射.

8.设f:A B,若存在g:B A，使得f g IA且g f IB，试证明: f是双射且f 1 g.

证 因为f g IA，而IA是单射，所以f是单射. 又因为g f IB，而IB是满射，所以f是满射. 因此f是双射.

由于f是双射，所以f

而(f 1 1存在. 因为f g IA，于是f 1 (f g) f 1 IA. f) g f 1 IA且IB g f 1，所以有f 1 g.

9.设f:A B,g:B C.若f和g是双射，则f g是双射且(f g) 1 g 1 f 1.

1 1证 根据定理4(1)(2)知，f g是双射. 下证(f g) g f 1. 因为

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