离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案(2)

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案

3.对于有限集合A和B，假定f:A B且|A| |B|，证明: f是单射的充要条件是f是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.

证( )因为f是单射，所以|A| |f(A)|. 由于|A| |B|，所以|f(A)| |B|. 又因为B有限且f(A) B，故f(A) B，即f是满射.

( )若f是满射，则f(A) B. 由于|A| |B|，于是|A| |f(A)|. 又因为A和B是有限集合，因此f是单射.

对于无限集合，上述结论不成立. 例如f:N N，f(x) 2x，f是单射，但f不是满射.

4.设f:A B,试证明:

(1)f IB f.

(2)IA f f.

特别地，若f:A A，则f IA IA f f.

证 (1)对于任意x A，由于f(x) B，所以(f IB)(x) IB(f(x)) f(x)，因此f IB f.

(2)对于任意x A，由于IA(x) x，所以(IA f)(x) f(IA(x)) f(x)，于是有IA f f.

由(1)和(2)知，若f:A A，则f IA IA f f.

5.试举出一个例子说明f f f成立，其中f:A A且f IA. 若f的逆映射存在，满足条件的f还存在吗?

解 令A {a,b,c}，f(a) f(b) f(c) a，即对于任意x A，f(x) a，显然f:A A且f IA. 而对于任意x A，有(f f)(x) f(f(x)) f(a) a，因此f f f.

若f f f且f的逆映射f 1存在，由第3题知f f f f IA，所以

1 1于是利用定理7有(f f) f (f f) IA，f 1 (f f) f 1 (f IA)，

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