(b)一般说来，任何拉格朗日函数λ都表明约束条件增减一个单位时对原始目标函数的边际影响。如在本题中，λ可视为总产量为30个单位时的边际生产成本，它表明如果该公司原先产量为 29单位，而现在增至30单位，则其总成本将增加33。这种边际关系对企业估价放宽某个约束条件可能得到的效益是十分重要的。
13.已知生产函数为Q＝min(3K，4L) (a)作出Q=100时的等产量曲线。 (b)推导出边际技术替代率函数。 (c)讨论其规模报酬情况。
解：(a)生产函数Q＝min(3K，4L)表示定比生产函数，它反映了资本和劳动在技术上必须以固定比例投入的情况，本题Q＝ 100时等产量曲线为如图所示的直角形式，资本与劳动的必要比例为K/L=4/3。且3K=4L=100。即K=100/3，L=25 （b）由3K=4L，推出
K?4I 3MRTS??dKd44??(L)?? dLdL33（c）?Q?f(L,K)?min(3K,4L)
?f(?L,?K)?min(3?K,4?L)?min?(3K,4L)??min(3K,4L)??Q
∴该生产函数为规模报酬不变。
14．若很多相同厂商的长期成本函数都是LTC＝Q3-4Q2+8Q，如果正常利润是正的，厂商将进入行业；如果正常利润是负的，厂商将退出行业。 (1)描述行业的长期供给函数。
(2)假设行业的需求函数为QD＝2000-100P，试求行业均衡价格，均衡产量和厂商的人数。 解：(1)已知LTC＝Q3-4Q2+80则LAC＝Q2-4Q+8，欲求LAC的最小值，只要令dLAC/dQ=0即20-4＝0 ∴ Q＝2这就是说，每个厂商的产量为Q＝2时，长期平均成本最低，其长期平均成本为：LAC=22-4×2+8=4。当价格P等于长期平均成本4时，厂商既不进入，也不退出，即整个行业处于均衡状态。故行业长期供给函数即供给曲线是水平的，行业的长期供给函数为P =4。
11
(2)已知行业的需求曲线为QD＝2 000-100P，而行业的供给函数为P＝4，把P＝4代入QD＝2 000-100P中可得：行业需求量QD＝2 000-100×4＝1 600
由于每个厂商长期均衡产量为2，若厂商有n个，则供给量Qs =2n。行业均衡时，QD＝Qs，即1 600＝2n，∴ n＝800。故整个行业均衡价格为4，均衡产量为1 600，厂商有800家。
15.假设利润为总收益减总成本后的差额，总收益为产量和产品价格的乘积，某产品总成本(单位：万元)的变化率即边际成本是产量(单位：百台)的函数C’＝4+Q/4，总收益的变化率即边际收益也是产量的函数R’=9-Q，试求：
(a)产量由1万台增加到5万台时总成本与总收入各增加多少? (b)产量为多少时利润极大?
(c)已知固定成本FC＝1(万元)，产量为18时总收益为零，则总成本和总利润函数如何?最大利润为多少?
解：(a)由边际成本函数C’＝4+Q/4积分得 总成本函数c＝40+1/8Q2+a(a为常数) 当产量由1万台增加到5万台时，
总成本增量△C=(4×5+25/8+a)-(4+1/8+a) =19(万元)
由边际收益函数及R’＝9-Q积分得 总收益函数R=9Q-1/2Q2+b(b为常数) 当产量从1万台增加到5万台时， 总收益增量△R=(45-25/2+b)-(9-1/2+b) ＝24(万元)
???R?C (b) ??'?R'?C'?9?Q?4?5??Q?54Q 4 令 ?'?0 求得 Q＝4(万台)
12
∴ 当产量为4万台时利润最大。 (c)∵ 固定成本FC=1
即在(a)题中求得的总成本函数中常数a=1
1 ∴ 总成本函数C?Q2?4Q?1
8 又 ∵ Q=18时，R＝0
11 即R?9Q?Q2?b?9?18??182?b?0
22 求得b=0
总收益函数R=9Q-1/2Q2
??R?C?9Q?Q2?Q2?4Q?1 则
5??Q2?5Q?181218
又由(b)题的结论
当产量Q=4万台时利润极大
11 总成本C?Q2?4Q?1??42?4?4?1
88 =19(万元)
11 总收益R?9Q?Q2?9?4??42?32 (万元)
22 总利润??R?C?32?19?13 (万元)
16. 完全竞争行业中某厂商的成本函数为STC＝Q3－6Q2＋30Q＋40，成本用美元计算，假设产品价格为66美元。
(1)求利润极大时的产量及利润总额。
(2)由于竞争市场供求发生变化，由此决定的新的价格为30美元，在新的价格下，厂商是否会发生亏损?如果会，最小的亏损额为多少? (3)该厂商在什么情况下才会退出该行业?
解：(1)已知厂商的短期成本函数为STC＝Q3-6Q2+30Q +40则SMC=dSTC/dQ=3Q2-12Q+30，又知P=66美元。利润极大化的条件为P=SMC即66＝302—120+30，解方程得： Q=6，Q=2。
d2TCd2TR? 出现两个产量值时，可根据利润极大化的充分条件来判断，即根据来判断22dQdQ 13
d2TCd2TCd2TC?6Q?12，当Q＝6时，?0而哪个产量水平使利润极大，=24；当Q＝2时
dQdQ2dQ2d2TCd2TCd2TR?(66)'?0。只有当Q＝6时，?，因此利润极大值为：π＝TR- TC＝222dQdQdQPQ-(Q3-6Q2+30Q+40)=66×6-(63-6×62+30×6+ 40)＝176，即利润极大值为176美元。 (2)由于市场供求发生变化，新的价格为P＝30美元，厂商是否会发生亏损?仍要根据P＝MC所决定的均衡产量计算利润为正还是为负。不论利润极大还是亏损最小，均衡条件都为P＝MC，即30=3Q2-12Q+30，∴ Q=4 Q＝0(没有经济意义，舍去)。一般来说，方程只有一个有经济意义的解时可以不考虑充分条件。需要验证是否满足充分条件也是可以的。当Q＝4时，
d2TCd2TCd2TR?＝6×4 -12=12>0，即，故Q＝4是利润最大或亏损最小的产量。利润π
dQ2dQ2dQ232
＝TR-TC＝PQ-(Q-6Q+30Q+40)=30×4-(43?6?42?30?4?40)??8，可见，当价格为30元时，
厂商会发生亏损，最小亏损额为8美元。
(3)厂商退出行业的条件是P
17. 完全竞争行业中某厂商的成本函数为STC＝Q3－6Q2＋30Q＋40，成本用美元计算，假设产品价格为66美元。
(1)求利润极大时的产量及利润总额。
(2)由于竞争市场供求发生变化，由此决定的新的价格为30美元，在新的价格下，厂商是否会发生亏损?如果会，最小的亏损额为多少?
(3)该厂商在什么情况下才会退出该行业?
解：(1)已知厂商的短期成本函数为STC＝Q-6Q+30Q +40则SMC=dSTC/dQ=3Q-12Q+30，又知P=66美元。利润极大化的条件为P=SMC即66＝302—120+30，解方程得： Q=6，Q=2。
d2TCd2TR? 出现两个产量值时，可根据利润极大化的充分条件来判断，即根据来判断dQ2dQ2d2TCd2TCd2TC?6Q?12，当Q＝6时，?0而哪个产量水平使利润极大，=24；当Q＝2时22dQdQdQ3
2
2
14
d2TCd2TCd2TR?(66)'?0。只有当Q＝6时，?，因此利润极大值为：π＝TR- TC＝dQ2dQ2dQ2PQ-(Q3-6Q2+30Q+40)=66×6-(63-6×62+30×6+ 40)＝176，即利润极大值为176美元。 (2)由于市场供求发生变化，新的价格为P＝30美元，厂商是否会发生亏损?仍要根据P＝MC所决定的均衡产量计算利润为正还是为负。不论利润极大还是亏损最小，均衡条件都为P＝MC，即30=3Q2-12Q+30，∴ Q=4 Q＝0(没有经济意义，舍去)。一般来说，方程只有一个有经济意义的解时可以不考虑充分条件。需要验证是否满足充分条件也是可以的。当Q＝4时，
d2TCd2TCd2TR?＝6×4 -12=12>0，即，故Q＝4是利润最大或亏损最小的产量。利润π222dQdQdQ＝TR-TC＝PQ-(Q3-6Q2+30Q+40)=30×4-(43?6?42?30?4?40)??8，可见，当价格为30元时，厂商会发生亏损，最小亏损额为8美元。
(3)厂商退出行业的条件是P
18.若很多相同厂商的长期成本函数都是LTC＝Q3-4Q2+ 8Q，如果正常利润是正的，厂商将进入行业；如果正常利润是负的，厂商将退出行业。 (1)描述行业的长期供给函数。
(2)假设行业的需求函数为QD＝2 000—100P，试求行业均衡价格，均衡产量和厂商的人数。
解：(1)已知LTC＝Q3-4Q2+80则LAC＝Q2-4Q+8，欲求LAC的最小值，只要令dLAC/dQ=0即20-4＝0 ∴ Q＝2这就是说，每个厂商的产量为Q＝2时，长期平均成本最低，其长期平均成本为：LAC=22-4×2+8=4。当价格P等于长期平均成本4时，厂商既不进入，也不退出，即整个行业处于均衡状态。故行业长期供给函数即供给曲线是水平的，行业的长期供给函数为P =4。
(2)已知行业的需求曲线为QD＝2 000-100P，而行业的供给函数为P＝4，把P＝4代入QD＝2 000-100P中可得：行业需求量QD＝2 000-100×4＝1 600
由于每个厂商长期均衡产量为2，若厂商有n个，则供给量Qs =2n。行业均衡时，QD＝Qs，即1 600＝2n，∴ n＝800。故整个行业均衡价格为4，均衡产量为1 600，厂商有800家。
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