微观经济学计算题练习(2)

(2)由q?11p?，得，这就是反需求曲线。

16p24q (3)当p=0.05，q=25时， 消费者剩余=?q011dq?pq?q224q1q011?pq?q2?pq??252?0.05?25?1.25

2211 8．若某消费者对X、Y的效用函数如下：

U（x）=20X-X2，U（y）= 40Y-4Y2，且Px=2元，Py=4元，现有收入24元，该消费者要花完全部现有收入并获得最大效用，应购买X、Y各多少？

?2x?4y?24?2x?4y??24??解： ?MUXMUY ?20?2x40?8y

??P?P?4?2Y?X?y?3解得：?

?x?69.某消费者的效用函数为U＝XY，Px＝1元，Py＝2元，M =40元，现在Py突然下降到1元。试问：

(1)Y价格下降的替代效应使他买更多还是更少的Y?

(2)Y价格下降对Y需求的收入效应相当于他增加或减少多少收入的效应?收入效应使他买更多还是更少的Y?

(3)了价格下降的替代效应使他买更多还是更少的X?收入效应使他买更多还是更少的X?Y价格下降对X需求的总效应是多少?对Y需求的总效应又是多少?

解：(1)先求价格没有变化时，他购买的X和Y的量。这时已知，Px＝1，Py＝2，U＝XY ∵ MUx? ??U?U?y,MUy?X ?X?YMUxMUyYX?,即为? PxPy12 预算方程为： X+2Y＝40

解 Y=X/2 X+2Y=40

得 X=20（即图中0X1） Y=10（即图中0Y1）

再求购买20单位的X、10单位的Y在新价格下需要的收入。

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M=Px·x+Py·y＝1×20+1×10＝30(元)

最后，求在新价格和新收入(30元)下他购买的X和Y的量。 ∵ Px=1，Py＝1，MUx＝Y，MUy＝X ∴ MUx/Px=MUy/Py 即为：Y/1=X/1 预算约束为：X+Y＝30

解 Y=X X+Y=30 得 X=15 Y=15

因此，Y价格下降使他购买更多的y，多购买(15-10)=5单位，在图中从OY1增加到OY2。 (2)先求y价格下降后，他实际购买的X和Y的量。 ∵ Px=1，Py＝1，M＝40，MUx＝Y，MUy＝X

MUxMUy? 即为：Y/1=X/1 PxPy 预算方程为：X+Y＝40

解 Y=X X+Y=50 得 X=20 Y=20

可见，Y价格下降的收入效应使他购买更多的Y即在图中从 OY2增加到OY3，购买(20-15)=5单位。

由于在新价格和收入为30元时，他购买15单位的X、15单位的Y。在新价格下，要使他能购买20单位X、20单位Y，需增加 10元收入，即收入为40元。所以，要增购5单位Y的话，必需增加 10元收入，即图中预算线上升到A'B。

因此，Y价格下降对Y需求的收入效应相当于他增加10元收入的效应。

(3)Y的价格下降的替代效应使他买更少的X，少买(20- 15)=5单位，即图中X的购买量从Ox1降为Ox2。收入效应使他购买更多的X，多买(20-15)＝5单位，即图中X的购买量从Ox2恢复到OX1。Y价格下降对X需求的总效应为零。

y价格下降的替代效应使他多购买5单位Y，收入效应使他也多购买5单位Y。故Y价格下降对Y需求的总效应为10单位，即图中Y1Y3=Y1Y2+Y2Y3。

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10. 已知生产函数为Q?2L0.6K0.2，请问： (a)该生产函数是否为齐次函数?次数为若干? (b)该生产函数的规模报酬情况。

(c)假如L与K均按其边际产量取得报酬，当L与K取得报偿后，尚有多少剩余产值? 解：(a)?Q?f(L,K)?2L0.6K0.2

?f(?L,?K)?2(?L)0.6(?K)0.2

?2?0.6L0.6?0.2K0.2?2?LK??0.8Q0.80.60.2

∴ 该生产函数为齐次函数，其次数为0.8。 (b)根据a)题 f(?L,?K)??0.8Q

可知该生产函数为规模报酬递减的生产函数。 (c)对于生产函数Q?2L0.6K0.2

MPPL?2K0.2?0.6L?0.4?1.2L?0.4K0.2MPPK?2L?0.2K0.8?0.8?0.2K?0.8?0.4LK0.6?0.8

这里的剩余产值是指总产量减去劳动和资本分别按边际产量取得报酬以后的余额，故 剩余产值＝Q-L·MPPL-K·MPPK

?2L0.6K0.2?L?1.2L?0.4K0.2?K?0.4L0.6K?0.8 ?2L0.6K0.2?1.2L0.6K0.2?0.4L0.6K0.2

?0.4L0.6K0.2?0.2Q

11.已知生产函数为Q?f(K,L)?10KL K?L (a)求出劳动的边际产量及平均产量函数。

(b)考虑该生产函数的边际技术替代率函数(MRTS)的增减性。 (c)考虑该生产函数劳动的边际产量函数的增减性。 解：(a)劳动的边际产量函数MPPL＝dQ/dL

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d10KL()dLK?L10K(K?L)?10KL ? 2(K?L)?10K2?(K?L)2 劳动的平均产量函数APPL＝Q/L

10KL1? K?LL

10K?K?L? (b)生产函数边际技术替代率指产量不变条件下一种生产要素增加的投入量与另一种生产要素相应减少的投入量之比，即 -△K/△L或-dK/dL。为此，需要从生产函数中先求得K和L之间的关系，然后从这一关系中求得dK/dL。 由生产函数 Q=

10K K?L 得 QK+QL＝1OKL K(Q-10L)＝-QL K??QL

Q?10L 则边际技术替代率MRTS=-dK/dL

d?QL()dLQ?10L

Q(Q?10L)?QL?(?10)?(Q?10L)2??Q2??0 (Q?10L)2当dK/dL>0时，

dK/dL<0

所以该生产函数的边际技术替代率函数为减函数。

10K2(c)?MPPL?

(K?L)2 9

dd?10K2??MPPL???dLdL?(K?L)2??10K2?2(K?L) ?(K?L)420K2???02(K?L) 所以该生产函数的边际产量函数为减函数。

12.某公司拟用甲、乙两厂生产同一种产品，如果用x代表甲厂的产量，用y代表乙厂的产量，其总成本函数为C＝x+3y-xy

(a)求该公司在生产总量为30单位时使总成本最低的产量组合。

(b)如用拉格朗日函数求解(a)题，请解释λ的经济意义。 解：(a)这个约束最佳化问题的数学表达如下： minC ＝ x2 + 3y2 - xy S.t.x + y = 30 设拉格朗日函数为

X ＝ x2 + 3y2 – xy +?(x?y?30) 分别对x、y及λ求偏导，得

?X?2x?y???0???y?2x ?x2

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?X?6y?x???0???x?6y ?y?X?x?y?30?0 ?? 由(1)，(2)式得 y-2x=x-6y 3x＝7y x=7/3y 代入(3)式中， 7/3y+y=3。 y=9 x=7/3y＝21

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