自然·简约·求实——“异面直线”教学设计与思考(2)

立体感增强了。此外还要指出：“异面直线没有专门的符号语言表示，‘a与b异面’的表述已经比较简单了。”

［设计意图：很多教师对“异面直线图示”的教学并不重视，直接给出图4、图5，轻描淡写地就过去了。实际上，教学工作的重心是努力“将课本上知识的学术形态转化为教师的教育形态、学生的学习形态”，即“唤醒”知识（“弥补”教材的“不足”），而不是给予知识。这里采用联系、变化的观点，作出了很好的“转化”。］

五、新知探究三：判定

设问：“如何判定两条直线是异面直线？”出示练习：“在图6所示的正方体ABCD?A1B1C1D1中，试判断：（1）直线AA1与BC的位置关系；（2）直线AA1与BD1的位置关系。”学生不难回答。然后，请一个学生到讲台上自己说出两条直线（设问），让下面的同学判断其位置关系（是不是异面直线）。接着，加大难度提问：“直线D1B与AC位置关系如何？”进一步提问：“直线D1B与A1O，或A1B与D1O呢？其中O是BC1的中点。”学生会感到困难。

引导学生探究：“回到图4，记直线a与平面α的交点为O，直线a不在平面α内，则其上一定有一点（如点P）不在α内，那么我们能否借助于平面α，换一种方式来描述直线a与b异面呢？”

慢慢启发学生思考，引导学生得出定理（结论）：过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。引导学生用符号语言刻画：l?α，P?α，O∈α，O?l?PO与l异面。引导学生简单证明：假设直线PO与l共面，因为O?l，所以过点O和直线l的平面有且只有一个，所以PO和a都在平面α内，于是P∈α，这与P?α矛盾，故PO与l是异面直线。

要求学生回到上述问题，利用判定定理解答，比如：判断直线D1B与A1O的位置关系，一个思路是考察D1B与平面A1BC1，另一个思路是考察A1O与平面ABC1D1。指出：“运用定理判断的关键是找出参照平面，这里的两种方法选择了不同的参照平面。”

［设计意图：从简单的问题出发，不断加深难度，自然地引起对判定定理的需求，引出对判定定理的探究。同时注意让学生提出问题，培养学生发现问题和提出问题的能力。在判定定理的证明中，注意培养学生数学抽象、逻辑推理以及运用数学语言进行表达的能力。］

六、新知探究四：度量

设问：“如何合情合理地刻画（度量）不同位置关系的两条异面直线呢？”提问：“在图6中，我们知道AB与A1D1、AB与A1C1都是异面直线，它们有什么区别呢？能否类比初中学过的相交直线进行描述？”同时利用两根棒针在空中旋转演示。自然引出两条异面直线a与b所成的角的概念。

引导学生探究：回到图4、图5，将两条异面直线“回归”（平移）共面，再用平面几何知识刻画（度量），可以得到结论：由等角定理可知，角的大小与点O的选取无关（为了方便，可以将点O取在其中一条直线上，如相关线段的中点、端点等）；两条异面直线所成角的范围为0,

π2。同时，可以引出概念：如果所成的角为π2，则称异面直线a与b垂直，记作a⊥b。

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