气体动力学讲义（冯喜平编）（修改版） - 图文(4)

a??a??b?c???0

?a?c??a?b??r?a?c??0r???a?b?

将上式代入（1.1.11）式，最后得

a??b?c???a?c?b??a?b?c 同理 b??c?a???b?a?c??b?c?a

c??a?b???c?b?a??c?a?b

这些都是矢量三重积的重要关系式。 若将上述三式相加，则得到一恒等式

a??b?c??b??c?a??c??a?b??0从（1.1.14）～（1.1.16）式，可以明显看出

a??b?c???a?b??c 即，三个矢量的乘积不符合结合律。

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（1.1.14） （1.1.15） （1.1.16）

（1.1.17）

1.2 矢量分析

本节学习矢性函数及其微积分，其在工程数学中被称为矢量分析，是矢量代数知识的深入和延续。

一、矢性函数

1. 矢性函数的概念

在矢量代数中，模和方向都保持不变的矢量称为常矢量；模和方向或其中之一改变的矢量称为变矢量。变矢量可以以函数形式出现，其应具备函数具有的连续、极限、微分、积分等特征。

定义：设有变矢A和数性变量t，如果t在某个范围G内取一定值，A总有一确定值和它对应，则称A为数性变量t的矢性函数，记为

并称G为函数A的定义域。

表达形式：矢性函数A(t)在Oxyz直角坐标系中的表示式为

A?A(t)

（1.2.1）

A=Axi?Ayj?Azk显然，三个坐标系分量应为t的函数：

(1.2.2)

Ax(t)，Ay(t)，Az(t)

其中i,j,k为沿x,y,z三个坐标轴正向的单位矢量。可见，一个矢性函数和三个有序的数性函数构成一一对应的关系。 2. 矢端曲线

定义：如图所示，将A(t)的起点作为坐标原点，此时，A(t)变为矢径r。当t变化时，矢量A(t)的终点M就描绘出一条曲线l，称此曲线为矢性函数的矢端曲线，亦称矢性函数A(t)的图形，同时称（1.2.1）或（1.2.2）为此曲线的矢量方程。 矢径: OM,用r表示：

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zl M Oy

r?OM?xi?yj?zk

对应的曲线l的以t为参数的参数方程

x?Ax(t),y?Ay(t),z?Az(t) （1.2.3）

容易看出，曲线l的矢量方程（1.2.2）和参数方程（1.2.3）之间有着明显的一一对应关系，知道其一，就可以计算出另一个。 3. 矢性函数的极限和连续性

（1）矢性函数极限的定义： 设矢性函数A(t)在点t0的某个邻域内有定义，对于给定的任意正数?，总存在一个正数?，使得满足0?t?t0??的一切t，对应的A(t)满足

A?t??A0??

则称A0为矢性函数A(t)当t?t0时代极限，记作

limA?t??A0

t?t0（1.2.4）

矢性函数的一些运算法则： 其中

t?t0limu?t?A?t??limu?t?limA?t? （1.2.5）

t?t0t?t0t?t0lim??A?t??B?t????limA?t??limB?t? （1.2.6）

t?t0t?t0lim??A?t??B?t????limA?t??limB?t? （1.2.7）

t?t0t?t0t?t0lim??A?t??B?t????limA?t??limB?t? （1.2.8）

t?t0t?t0t?t0u?t?为数性函数，

A?t?,B?t?为矢性函数；且当

u?t?,A?t?,B?t?t?t0时，

均

有极限存在。

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（2）矢性函数连续性的定义： 若矢性函数A(t)在点 则称A(t) 在

t?t0t0的某个邻域内有定义，而且有

limA?t??A?t0? （1.2.9）

t?t0处连续。

t0处连续的充要条件是它的三个坐标函数Ax(t)，

容易看出：矢性函数A(t)在点

Ay(t)，

Az(t)都在t0处连续。

若矢性函数A(t)在某个区间内的每一点处都连续，则称它在该区间连续。

二、 矢性函数的导数和微分

1. 矢性函数的导数 如图所示，设有起点在

o点的矢性函数A?t? ，当数性变量t在其定义域内从t变到

A?t??OM；

t??t??t?0? 时，对应的矢量分别为

A?t??t??ON

则

A?t??t??A?t??MN

其叫做矢性函数

A?t?的增量，记作?A，即

?A?A?t??t??A?t? （1.2.10）

定义 设矢性函数At在点t的某一邻域内有定义，At对应于?t的增量?A与

?????t之比为

?AA?t??t??A?t? ??t?t13

在?t?0时，如果其极限存在，则称此极限为矢性函数At在点t处的导数（简称

??导矢），记作

dA'或A?t? ，即 dt

A?t??t??A?t?dA?A （1.2.11） ?lim?lim?t?0?t?0dt?t?t若At由坐标式给出：

??A?t??Ax(t)i?Ay(t)j?Az(t)k

且函数Ax(t),Ay(t),Az(t)在点t可导，则有

?Ay?Ax?AdA?A?lim?limi?limj?limzk

?t?0?t?t?0?tdt?t?0?t?t?0?t ?即

dAdAxdAi?yj?zk dtdtdtA'?t??A'x(t)i?A'y(t)j?A'z(t)k

（1.2.12）

可见，对矢性函数的导数归结为三个数性函数的求导。

2. 导矢的几何意义

如图，

?Al为A?t?的矢端曲线，?t是在l的割线MN上的一个矢量。当?t?0时，其指向

与?A一致，即指向对应t值增大的一方；当?t?0时，其指向与?A相反，如图，但此

?A时?A指向对应t值减少的一方，从而?t仍指向对应t值增大的一方。

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