第一章 基础知识（场论概要）
矢量代数、矢量分析和场论是多维气体力学的基础知识，同时也是研究其他许多学科的有用工具。本章根据多维气体力学学习要求，简要地介绍矢量代数、矢量分析和场论方面的基础知识，并且着眼于工程应用，不拘泥于严格的数学推导。
1.1矢量代数
一、 矢量概念
（1） 矢量的定义
在研究力学、物理学和其他应用科学时，通常会遇到这样一类量，它们既有大小，又有方向，这一类量称为矢量。例如：力、力矩、速度、加速度、动量等等。
（2） 矢量的表达方法
在数学上，用有向线段表示矢量。有向线段的长度表示矢量的大小，有向线段的方向表示矢量的方向。
以
M1M为起点，
M2为终点的的有向线段所表示的矢
M量矢量，记为M1M2（图1-1）。有时经常用粗体字母或
图 1-1 用加上箭头的小写字母表示矢量。例如：a，M，v，F或，M，v，F等等。
直角坐标系中矢量的分解表达式为：M1M2?(x2?x1)i?(x2?x1)j?(x2?x1)k。 直角坐标系中矢量的坐标表达式为：
M1M2?ax,ay,az??。
M1其中：(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)分别是直角坐标系中起点
ax,ay,az和终点M2的坐标。
分别是直角坐标系中矢量M1M2在三个坐标轴的投影
（3） 矢量的模
矢量的大小称为矢量的模。矢量M1M2，a，a记为M1M2， a，a。
（4） 单位矢量
模等于1的矢量称为单位矢量。模等于0的矢量称为零矢量。零矢量用0或0表示。
1
（5） 矢径
如果矢量的起点位于坐标原点O，终点为M，则该矢量OM称为点M对点O矢径，常用粗体字r表示。
直角坐标系中矢径的分解表达式为：M1M2?xi?yj?zk。 直角坐标系中矢径的坐标表达式为：OM??x,y,z?。
由于矢径的起点位于坐标原点，因此矢径的坐标和其终点坐标一致。
（6） 矢量的模与方向余弦的坐标表达式
二、 矢量的加法、减法
? 定义和运算法则
根据力学实验结果，两力合力的计算按照平行四边形法则。对于速度、加速度也有相同的结果。对矢量的减法规定如下：
设矢量a?OA，b?OB，以OA和OB为边作一平行四边形OACB，取对角线OC，它表示一矢量，记为c?OB（图1-2），称矢量c为矢量a和矢量b的和，记为：c?a?b。
这种用平行四边形对角线矢量规定两矢量和的方法称为矢量加法的平行四边形法则。 和(或合成)是矢量c，它是把矢量b的起点放置在矢量a的终点处，再连接矢量a的起点到矢量b的终点而得到，这一方法称为矢量加法的三角形形法则。
Bb Oa 图 1-2
c ACc=ab Oa 图 1-3 AC2
Cb -O图 1-2
矢量?b是和b矢量大小相等方向相反的矢量，矢量a与b的差可以看成矢量a与?b的和。
c?a?b?a?(?b)
c=ab a 图 1-3 A? 矢量的加法、减法的运算规律
矢量的加法、减法矢量符合下列运算法则
（1） 交换律 a?b?b?a
（2） 结合律 a?b?c?(a?b)?c?a?(b?c)
利用矢量坐标，可得矢量的加法、减法以及矢量与数量乘积的运算法则。 bx,by,bz?， 设 a??ax,ay,az?，b??即 a?axi?ay?az，b?bx?by?bz， 有 a?b?(ax?bx)i?(ay?by)?(az?bz)
a?b?(ax?bx)i?(ay?by)?(az?bz)
?a??(ax)i??(ay)??(az)
结论：矢量的加法、减法以及矢量与数量乘积，只需对矢量的各个坐标分别进行运算。
三、 矢量与数量的乘法
设?是一数量，a是一矢量。矢量a与数量?乘积?a规定为：
当??0时，?a表示一个矢量，它的方向和a相同，模?a??a；
3
当??0时，表示一个零矢量，?a?0；
当??0时，?a表示一个矢量，它的方向和a相反，模?a??a。 运算规律
矢量与数量的乘法符合下列运算法则
(1) 结合律 ?(?a)??(?a)?(??a) (2) 分配律 (???)a??a??a
a ?a 1a 22a 图 1-4 例题
四、 矢量的数量级（矢量的点积a?b）
1. 定义
设有矢量a和矢量b，夹角为?，其数量积c定义为这两个矢量的模与其夹角余弦的乘积。即
c?a?b?a?b?cosa,b?a?b?cos?
??（1.1.1）
2. 矢量点积的坐标表示法
在直角坐标系中，设a??ax,ay,az?，b??bx,by,bz?，则
c?a?b?ax,ay,az?bx,by,bz
3. 点积的运算规则
符合交换律 a?b?b?a
?axbx?ayby?azbz??????
（1.1.2）
22a?a?ax?a2y?az?ai?ai
（1.1.3）
??符合规则 m?a?b???ma??b?a??mb???a?b?m
符合分配律 a?b?c?a?b?a?c
4
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库气体动力学讲义（冯喜平编）（修改版） - 图文(2)在线全文阅读。
相关推荐：