(1)?(cu)?c?u(c为常数(2)??(cA?)?c??A?),(c为常数(3)??(cA?)?c??A?),(c为常数),(4)?(u?v)??u??v(5)??(A??B?)???A?,???(6)??(A??B?)???A??B???B?,(7)??(uc?)??u?c?,(c为常矢),(8)??(uc?)??u?c?(c为常矢),(9)?(uv)?(10)??(uA?v?u?u?)?u??A?v,??u??(11)??(??A?,(12)?(A?uA?B?)?u?)?A??A???(??B?u?A)?(A?,??)B??B??(??A?)?(B???)?13）??(A??B?)?B??(????A(14)??(A??B?)?(B????)A?A)??(A?A?(???)B??B?B?),(??A?)?A?(??B?)，(15)??(?u)??2u??u(?u为调和量),(16)??(?u)?0,(17)??(??A?(18)??(??A?)?0,)??(??A?)??A?
（其中?A???A???xi??Ayj??Azk），
在下面的公式中，r??x?i?y?j?zk?,r?r?，
(19)?r?r??r?0,(20)?r?r?3,(21)??r??0, (22)?f(u)?f'(u)?u,(23)?f(u,v)??f?u?u??f?v?v,(24)?f(r)?f'(r)r??f'(r)r?0,(25)??[f(r)r?r]??0, (26)??(r?3r?)??0(r?0),(27)奥氏公式??A??dS?????(??A?)dV,s?(28)斯托克斯公式?????tA?dl???(??A)?dS.
s
35
（
上面的公式（1）至（8）和公式（15），可以根据?算子的运算规则直接推导出来，是几个最基本的公式。应用这几个公式和下述方法，就可进而推证出其他的一些公式。现在我们通过几个例子来说明使用?算子的一种简易计算方法。
例1 证明 ?(uv)?u?v?v?u。
??????证 ?(uv)?(i?j?k)uv
?x?y?z??(uv)??(uv)??(uv)?i?j?k?x?y?z?v?u??v?u??v?u??(u?v)i?(u?v)j?(u?v)k ?x?x?y?y?z?z
?v??v??v??u??u??u??u(i?j?k)?v(i?j?k)?x?y?x?x?y?x?u?v?v?u?????????i?j?k实际上是三个数性微分算子,,的线性组合，算子??而这?x?x?x?x?y?z些数性微分算子是服从乘积的微分法则的，就是当它们作用在两个函数的乘积时，每次只对其中一个因子运算，而把另一个因子看作常数。因此作为这些数性微分算子的线性组合的
?，在其微分性质中，自然也服从乘积的微分法则，明确这一点，就可以将例1简化成下
面的方法来证明。
证 根据?算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有
?(uv)??(ucv)??(uvc).
在上式右端，我们根据乘积的微分法则把暂时看成常数的量附以下标c，待运算结束后，再除去之。依此，根据公式（1）就得到
?(uv)??(ucv)??(uvc)?u?v?v?u.
???例2 证明??(uA)?u??A??u?A。
证： 根据?算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有
?????(uA)???(ucA)???(uAc)
右端第一项，由公式（2）有
?????(ucA)?uc??A?u??A
右端第二项，由公式（7）有
?????(uAc)??u?Ac??u?A
36
???所以 ??(uA)?u??A??u?A
??????例3 证明??(A?B)?B?(??A)?A?(??B)
证： 根据?算子的微分性质，按乘积的微分法则，有
????????(A?B)???(A?Bc)???(Ac?B)
再根据?算子的矢量性质，把上式右端两项都看成三个矢量的混合积，然后根据三个矢量在其混合积中的位置的轮换性：
?????????a?(b?c)?c?(a?b)?b?(c?a)，
将上式右端两项中的常矢都轮换到?的前面，同时使得变矢都留在?的后面，据此
????????(A?B)???(A?Bc)???(Ac?B)???????(A?Bc)???(B?Ac)????
?Bc?(??A)?Ac?(??B)?????B?(??A)?A?(??B)在?算子的运算中，常常用到三个矢量的混合积公式
?????????a?(b?c)?c?(a?b)?b?(c?a)
及二重矢量积公式
?????????a?(b?c)?(a?c)b?(a?b)c
??????这些公式都有几种写法，比如上式右端第一项(a?c)b，还可以写成(c?a)b，??????b(a?c)，b(c?a)等。因此，在应用这些公式时，就要利用它的这个特点，设法将其中的
常矢移到?的前面，而使变矢留在?的后面。
?????????例4 证明??(A?B)?(B??)?(A??)B?B(??A)?A(??B)。
证 根据?算子的微分性质，应用乘积的微分法则，有
????????(A?B)???(Ac?B)???(A?Bc)
再根据?算子的矢量性质，将上式右端两项都看成三个矢量的五重矢量积，应用二重矢量积公式有
????????(Ac?B)?Ac(??B)?(Ac??)B?????A(??B)?(A??)B????? ???(A?Bc)?(Bc??)A?Bc(??A)?????(B??)A?B(??A)37
?????????所以 ??(A?B)?(B??)?(A??)B?B(??A)?A(??B)
下面再看几个应用的例子：
?????例5 已知u=3xsin yz ,r?xi?yj?zk,求??(ur)。
解 由公式（10）
?????(ur)?u??r???(ur)
再由公式（20）知其中??r?3。而
????????u?(i?j?k)3xsinyz?x?y?z? ???3(sinyzi?xzcosyzj?xycosyzk),所以
???????(ur)?9xsinyz?3(sinyzi?xzcosyzj?xycosyzk)r?12xsinyz?6xyzcosyz3
???24例6 设A?xzi?2xyzj?2yzk，求在点M(1，2，1）处的??A。
??解 因为??A?rotA，故由A的雅可比矩阵
?DA??4xyz?2x2z?2x2y
02z48yz3有
z303xz2????422??A?2z?(?2xy)i?(3xz?0)j?(?4xyz?0)k ???422?(2z?2xy)i?3xzj?hxyzk?????于是 ??AM?6i?3j?8k ??????????例7 验证?(a?r)?dl?2??a?dS，其中a为常矢；r?xi?yj?zk。
l???????证 在斯托克斯公式?tA?dl???(??A)?dS.中，取A?a?r，即有
???????t(a?r)?dl?????(a?r)?dS.
sss由公式（14）
????????????(a?r)?(r??)a?(a??)r?r(??a)?a(??r)????????0?(ax?ay?az)r?0?3a?x?y?z??????(axi?ayj?azk)?3a ??2a38
?????故有 ?(a?r)?dl?2??a?dS
l??(?v??u?u?v)dV 例8 验证格林（Green）第一公式 ??(u?v)?dS????与格林第二公式
s??(u?v?v?u)?dS?(u?v?v?u)dV ?????s?s????证 在奥氏公式??A?dS????(??A)dV中，取A?u?v，并应用公式（10）有
s???(u?v)?dS???????(u?v)dVs?????（?u??v?u?v)dV
?同理
??(v?u)?dS??(?v??u?v?u)dV? s????将此两式相减，即得格林第二公式。 39
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