平面几何研究 - -平面几何新思索（叶中豪） - 图文(4)

模式4 为使连线AB经过定点C，则P之轨迹是经过顶点O的双曲线，其中心D可如下确定：先作平行四边形CEOF，再过E，F分别作OX，OY的垂线，其交点即为D。

而且猜想该双曲线的对称轴恰与∠XOY的角平分线平行——这一点绝非是显然的！ 当P 取双曲线顶点时，直线OC好像穿过△OAB的Mittonpunkt。

OEDFACBP04032802XY

今天考虑最重要的情况：

模式5 当OA和OB之间是线性关系时（即动点A和动点B构成∠XOY两边之间的仿射对应），这时△OAB的外接圆恒经过定点M（Miquel点），直线AB的包络是以M为焦点的抛物线——此即Apollonius所发现的定理，见《一百个著名初等数学问题——历史和解》。

P的轨迹是一条经过M点的直线l，它与OM垂直。设l与∠XOY两边的交点为L，N，再作它们在另一边上的射影F，E，则EF连线是该抛物线的准线。设该抛物线与∠XOY两边的切点为C，D，则C，D满足：∠MCO＝∠MON，∠MDO＝∠MOL（即△MCO∽△MOD），而动三角形MAB的形状也始终保持与它们相似；相对△OCD来说，M点是其第二Brocard三角形的顶点；而且Apollonius还告诉我们：CA∶AO＝OB∶BD＝AG∶GB，其中G是AB对于抛物线的切点。

OEFGALPBNMD04032901C

当A，B取M在∠XOY两边的射影时，线段AB的长度达到最小值——此时它是抛

物线过顶点的切线（即抛物线的Simson线，它是夹在Miquel点M及准线EF之间的中位线）。

下图是研究上述抛物线的Simson线AB和准线EF之间的关系时提出的。

A2E'1AE1D'2FA1KF1EF'2D'1D1D2B1C1BF2DE2C04032902C2F'1E'2B2

图中△ABC是一个任意三角形，AD，BE，CF是三边上的高。 再作D，E，F在相邻两边上的射影D1，D2，E1，E2，F1，F2，以及D，E，F关于相邻两边的轴对称点D1′，D2′， E1′，E2′，F1′，F2′。显然，D1′，E，F，D2′四点是共线的，且所共直线与D1D2连线关于D点是1∶2的位似关系。设D1D2，E1E2，F1F2两两的相应交点为A1，B1，C1，不难说明△ABC和△A1B1C1是透视关系，且透视中心恰是△ABC的类似重心K。 可以说明，D1D2，E1E2，F1F2是三条长度相等的线段，其长度为2RsinAsinBsinC，即△/R；且D1，D2，E1，E2，F1，F2六点共圆，即著名的Taylor圆。

备考：《梁绍鸿》习题十六№28：“三角形每边上的高线足在他两边上的射影凡六点共圆。这圆叫做

三角形的泰罗（Taylor）圆，系塔刻圆之一。”又，总复习题№47：“三角形的泰罗圆心是垂三角形的斯皮克圆心之一。” №48：“三角形的外心、泰罗圆心、垂三角形的垂心三者共线。”

另外还可注意到D1′，D2′， E1′，E2′，F1′，F2′六点位于同一圆锥曲线上。 再连接F1′E2′，D1′F2′，E1′D2′，以围成△A2B2C2。 首先，可以注意到△A2D1′D2′，△B2E1′E2′，△C2 F1′F2′都是等腰三角形，这表明△A2B2C2位似于△ABC的垂三角形的垂三角形，所以它的形状不太稳定。其次，几何画板表明△ABC和△A2B2C2也是透视的，问：透视中心是△ABC的什么特殊点呢？（它与类似重心K离得较近，可能不是一个熟知的特殊点。）

【040330】现将上面模式5中OA和OB之间的线性关系具体化。设M在角的两边上的射影为A0，B0。

由于OA/OC＋OB/OD＝1①，而OC＝OM2A0B0/MB0②，OD＝OM2A0B0/MA0③。将②，③代入①，得

OA2MB0＋OB2MA0＝OM2A0B0④。 ④就是OA和OB之间线性关系的具体表达式，其系数MA0，MB0是Miquel点M至角的两边之距离。如等式两边除以OM，则④式可改写为：

LAA0BB0OP04033000MNOA2cosN＋OB2cosL＝A0B0。

由此改编为如下习题：“在△ABC中，D是底边BC上的动点。过D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足为E，F。求证：AE2cosB ＋AF2cosC为定值。”（定值为2RsinAsinBsinC，即△/R。）

AAFEFXBD04033002ECYBD04033001C

证明：过A作AX⊥AC，AY⊥AB，分别交BC于X，Y。则AE2cosB＝AE2EC/CD＝XD，AF2cosC＝AF2FB/BD＝DY，∴AE2cosB ＋AF2cosC＝XY为定长。

而XY的长度表达式为a2tanB2tanC，可巧用面积说明如下：XY/BC＝△AXY/△ABC＝AX2AY2sin（180°－A）/ AB2AC2sinA＝AX/ AC2AY/AB＝tanB2tanC。 课题 与完全四边形的四边同时相切的那条抛物线（以Miquel点为焦点，以垂心线为准线）的四个切点之研究。 根据Apollonius的定理，这四个切点在各条直线上的位置是很容易确定的。但换个不同的角度去看待这些切点是颇有趣的，如以某个基本三角形作为立足点，则第四边上的切点就成了Menelaus截线上面的某个特殊的点。现将问题具体化： △ABC是一个给定的三角形，DEF是一条任意的Menelaus截线。则DEF上存在一点T，同时满足：BDDC?FTTE，CEEA?DTTF，AFFB?ETTD。姑且将T称作截线DEF的“抛切点”。 关于“抛切点”，今探索得两个结论： 结论1 当截线DEF平行移动时，“抛切点”T的轨迹是同时经过三个顶点A，B，C的抛物线，其对称轴与截线DEF平行。（其焦点轨迹是三叶形高次曲线。） 结论2 当截线DEF绕定点P旋转时，“抛切点”T的轨迹是经过三个顶点的三叶曲线（每支有点像双曲线，估计是三次的）。当 P跑到△ABC形外时，其中两支便交汇于P点，见下面右图。 EAFE04033003TDBCTAAFFPETBDCP04033004B04033004CD 至于当截线DEF取外接圆的切线时，“抛切点”的轨迹十分复杂，无法加以考虑。 下面同时画出完全四边形的四个“抛切点”。这四个“抛切点”所构成的四点形与原完全四边形具有共同的“对角三角形”。这实际上就是马克劳林定理。事实上，将下述命题中的圆改为圆锥曲线，结论也成立——而抛物线正是特殊的圆锥曲线。

备考：《梁绍鸿》复习题三№110：“圆上四点两两相连组成一完全四角形（即四点形），又过每点作

圆的切线交成一完全四边形，这两形必有共同的对角三角形。本题称马克劳林（Maclaurin，1698—1746）定理。”

在这个图形中，进一步画出“抛切点”所构成的四点形之“九点二次曲线”，探索得到如下重要的结论：

猜想 完全四边形的Newton线，是由四个“抛切点”所构成的四点形的九点二次曲线的一条渐近线！（由于抛物线上的四点所构成的四点形总是凸的，故其九点二次曲线必是双曲线。） A对角三角形B核心DCT2ET3FMiquel点Newton线T4T104033005另外，今天还顺便发现： 猜想 四点形的“核心”也在其九点二次曲线上。

备考：《梁绍鸿》§48例题51：“四点两两连成四个三角形，它们的九点圆共点。” 全书最后的习题

№19，№20也与此有关。亦可参见《近代欧氏几何学》第14章：“??虽无疑有其更早的来源，但却是由Happach于1912年整理的”。但两本书中都未给出所共点的名称，现约定将此点称作四点形的“核心”。

当四点共圆时的特例，见《梁绍鸿》复习题三№47：“在一圆内接完全四角形中，求证下列十七条直

线、四个圆会于一点：（1）每顶点至他三顶点所连成三角形的垂心的连线，凡四线；（2）每顶点对于他三顶点所连成三角形的西摩松线，凡四线；（3）自每边中点所引对边的垂线，凡六线；（4）自每对角点所引过此点两边的中点连线的垂线，凡三线；（5）每三顶点所连成三角形的九点圆，凡四圆。”

这样一来，也许将九点二次曲线改名为“十点二次曲线”更为妥当。 下面考虑模式5中的两个面积极值问题。

（1） 何时△OAB的面积最大？

这个问题的答案是：过顶点O作OE，OF垂直于角的两边，分别交直线LN于E，F，当P取EF的中点时，△OAB的面积最大。此时A，B分别是OC，OD的中点，故△OAB的最大面积是△OCD面积的四分之一。

有趣的是，当取极值时，四边形OAMB恰好是“调和四边形”。（即对边乘积相等的共圆四边形，其两条对角线关于外接圆共轭。“调和四边形”（指顶点）是正方形的反演像。）

OALPMBENDFC04033006

（2） 何时四边形OAPB的面积最大？

这个问题的答案是：当直线OP经过△OLN的外心，即AB平行于底边LN时，四边形OAPB的面积最大。

O面积 OAPB = 16.64 厘米2AB外心P04033007

至于和模式4有关的极值问题，则大多为人熟知：

当AB被C点平分时，△OAB的面积最小。

OBB0CA0A04033008

作过C点且与角的两边相切的圆（这样的圆共可作两个，指的是其中较大的一个），当AB是该圆切线时，△OAB的周长最小。

注：如果画其中较小的那个圆，那么当AB是该圆切线时，OA＋OB－AB达到最小。Clark Kimberling在文献中将OA＋OB－AB称为“迂回量”（detour）。

XY

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