平面几何研究 - -平面几何新思索（叶中豪） - 图文(2)

AFEPKQOBDC2004年2月27日晚探索得：垂三角形DEF的垂心P与Spieker点Q，都在原三角形ABC的外心Ｏ与类似重心Ｋ的连线（Brocard轴）上。

结论7 切点三角形DEF的九点圆心（图中标为P），与垂心H及Gergonne点Ge三点共线。

2004年2月27日晚探索得：切点三角形DEF的九点圆心（图中标为P），与垂心H及Gergonne点Ge三点共线。AFIPGeEHBDC

【040310】今在几何画板4.04版中创建了20个工具。但不知如何调整工具的次序。 现象 设△ABC中，外心为O，垂聚点为X，切聚点为Y。发现：∠OYX总是钝角。 Euler线APAIOYX

CBC现象 考虑Euler线的三线极点P。当A在外接圆上运动时，其轨迹是奇怪而漂亮的曲线——像拿破仑的帽子（轴对称！）。这曲线不久前似曾相识，但却想不起来了。

现象 当一条直线绕定点P旋转，其垂极点的轨迹是椭圆。考虑定点P和该椭

OB圆的依赖关系（前年在钦州南路时曾考虑

过，但未获实质性结论。当P取外心时，椭圆成为九点圆；当P在外接圆上时，椭圆变成Simson线，借此而得到一个三线共点的结论，曾给田廷彦做。后发现在梁绍鸿习题中有一个相关的题： “设H是△ABC的垂心，M，N是外接圆上两点，P是这两点的西摩松线的交点，K是H关于P的对称点。求证：△KMN的垂心L在的外接圆上，且L对于△ABC的西摩松线垂直于MN而通过P点。”复习题三№53）。 今发觉：当且仅当P在△形内（外）时，P在椭圆形内（外）。问：P取什么点时，成为三角形的内切椭圆

B（有无可能性）？可退而考虑何时和三角形一边相切。

猜想：当P和P′关于外接圆互为反演点时，所对应的椭圆离心率是一样的，甚至是位似的！

【040312】2月26日考虑了如下图形： 现象 同时作已知△ABC的内接、外接三角形，使它们位似于所给三角形DEF。 当△DEF旋转时，内、外接的两个位似三角形的位似中心（聚点）P的轨迹是二次曲线。 而当E，F不动，仅仅D点运动时，P点的轨迹是一条直线。

E2A04031002CPA拖动点EF2F1PE1FDBD1CF'E'D'△D'E'F'用来控制形状D2

现象 考虑如下习题：“过三角形ABC平面上某点P，作PA，PB，PC的垂线，分别与对边BC，CA，AB交于X，Y，Z点，则X，Y，Z三点一定共线。”今探索得当P在外接圆上时，所共线过外心。由此编成如下题目：

题目 设P是△ABC外接圆上任一点，作PA，PB，PC的垂线，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F点，则D，E，F和外心O四点共线。

此题看来并非显然，今上午给田廷彦做，田看出这实际上是Pascal定理（对自交型圆内接六边形而言）。

田说他近日得到如下简单结论：

结论 设BE，CF是△ABC的角平分线，则EF过重心G的充要条件是

1b?1c?1aFAEODBCPA。

?7FGE特别地，当∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3时（即∠A＝∠C＝

3?7，∠B＝

2?7，

BC04031203），求证：G，E，F共线。

这个结论用重心坐标很容易解释。

现象 考虑三角形ABC，当底边BC及外接圆固定，而A点在圆上移动时各种特殊点的轨迹。其中类似重心K、垂聚点X、切聚点Y都为椭圆；Spieker点，Mittonpunkt为两个8字曲线（当中那点恰重合！）；Brocard点像水珠形；而Napoleon点很复杂，就像拿破仑的帽子。

AASpKYXMiBBCC类似重心，垂聚点，切聚点Spieker点，MittonpunktAAN'BrocardNBCCBNapoleon点 【040314】今用几何画板画“迭代”、“科赫雪花”及旋转的“正六面体”：

【040319】前天晚上给出“非钝角三角形的外心至三边的距离和，等于外接圆与内切圆的半径和”（《梁绍鸿》复习题三№14）一题的另外一种纯几何证法。只需证Rt△BFD≌Rt△DJI。再注意MF方向即可。（在△EBC中，MF平行于∠E的平分线，根据阿基米德的结论，BF就等于EB＋EC之半，而EB＋EC正等于HB＋HC，即O到相应两边距离之和的两倍。）由此DJ等于O到AB，AC两边距离之和。

现象 记得90年代中期，陈计问我△ABC中，各边上长度分别为

p?p?a?，p?p?b?，p?p?c?的三条Ceva线是否共

DBJOICFEAM点？（陈计说用不等式易证ta?p?p?a??ma。而长度为

04031901上述Ceva线指的正是夹在中线和角p?p?a?的Ceva线有两条，

平分线之间的那条。）

我通过较烦的计算（算出它分相应边之比，然后再用Ceva定理）断定这三条Ceva线一般并不共点。而且还给出了一个有趣的几何解释：上述Ceva线恰垂直于以B，C为圆心，过A点的两圆的外公切线！（而这条垂线我在90年代初的笔记本上就已提到了。） （补注：昨晚用几何画板重新作图，表明这三条Ceva线的确是共点的，看来当时算错了，见下图。——04.3.21） ADBC04032001 今天重新考虑这个问题，又得到了一个新的进展：上述Ceva线将△ABC分成两个小三角形的内切圆恰好相等！

田廷彦说这是1988年IMO的预选题（苏联提供），以前我们还曾讨论过，而且他在《阶梯奥数》中也写到了这题。钟建国也在E-mail中告诉了这题的来源。

MANBMXTC04031902

中午又得到一个新结论（但并不难证）： 现象 设AP是△ABC的任意一条Ceva线，则△APB，△APC的内切圆的另外一条内公切线一定经过△ABC的内切圆和底边BC的切点D！

AII2I1BP04031903DC

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