平面几何研究 - -平面几何新思索（叶中豪） - 图文

平面几何新思索

【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。在任意△ABC周围作： △FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。G是△ABC的重心。求证：△GEF∽△OPQ。

EAOFGPMNQBC

F上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。结果发觉其难度并不大。 当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。

【020527】黄路川问如下题：

“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。求证：DI垂直于EF。”

经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。

EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。

BDAEIC

【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。

结论1 三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。

AHFGOBC

J注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°； 其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形是正△，它对于△ABC三边的视角分别是60°＋A，60°＋B，60°＋C，它是三个Apollonius圆所共之点，它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比，它在外心O和类似重心K的连线上（Brocard轴）。

结论2 三角形的每个旁心和相应边的中点连线一定共点，所共点位于重心及Gergonne点的连线上；三角形的每个旁心和相应边上的内切圆切点连线也一定共点，所共点既位于内、外心的连线上，又位于重心及Gergonne点的连线上。而且上述两个所共点是原三角形的一对等角共轭点。

I3AFENGPGeIQMI2BLODCI1

注：图中I1，I2，I3是△ABC的旁心，L，M，N是各边中点，D，E，F是内切圆的切点。I1L，I2M，I3N所共之点记为P（在文献中称作“Mittonpunkt”，由Nagel于1836年引进），I1D，I2E，I3 F所共之点记为Q（可称作“切聚点”，它是位于内、外心连线IO上的一个特殊点）。AD，BE，CF所共之点称为Gergonne点，在图中标为Ge。则P，Q都在重心G和Gergonne点的连线上，而且P，Q关于△ABC恰好等角共轭！

结论3 过完全四边形的六个交点各作一条Newton线的平行线，则每条平行线都是满足如下特性的轨迹——其上任意一点与相应交点所在直线上的两条线段所张成的三角形面积相等（这两条线段不以该交点为端点）。

ANPBM牛顿线DCELF

注：图中P是过A所作的平行线上任意一点，则P点满足

S△PBE＝S△PFD。

其中，线段BE和FD称为完全四边形的一组“对节”（完全四边形共有六组对节）。

结论4 三角形的两个Fermat点连线和两个Napoleon点连线的交点是类似重心。

FF'O3AO2ONKN'O'FEBCO1D

注1：以△ABC的三边向形外作三个正三角形——△DCB，△EAC，△FBA，其中心记为O1，O2，O3。则AD，BE，CF所共之点称作△ABC的Fermat点(正等角中心)，记作F；AO1，BO2，CO3所共之点称作△ABC的Napoleon点，记作N。

若三个正三角形改为向形内作（△D′BC，△E′CA，△F′AB，其中心记为O1′，O2′，O3′）。则AD′， BE′，CF′所共之点称作△ABC的第二Fermat点(负等角中心)，记作F′；AO1′，BO2′，CO3′所共之点称作△ABC的第二Napoleon点，记作N′。

在《蚁迹寻踪》一书P.46提到Clark Kimberling的一个结果：“三角形的Fermat点、Napoleon点、外心三点共线；三角形的Fermat点、第二Napoleon点、九点圆心三点也共线。”即图中F，N，O共线，F ，N′，O′共线（O′表示九点圆心）。

事实上，三角形的第二Fermat点F′，第二Napoleon点N′，外心O三点也共线； 三角形的第二Fermat点F′，Napoleon点N，九点圆心O′三点也共线； 而且，FF′与NN′的交点正是△ABC的类似重心K ！（见上图）

注2：深入的探索表明，结论4与结论1有密切联系。下图中同时画出了Fermat点F，第二Fermat点F′，等力点J，第二等力点J′。此图给出了如下结论：

（1）G，F，J′共线；G，F′，J共线。

（2）GK，O′F′交于J F中点；GK，O′F交于J′F′中点。

（3）OK，O′F，HF′共点；OK，O′F′，HF共点。

由Schoute共轴圆系知，以OK为直径的圆（Brocard圆）与过J，J′两点的圆正交，由此易说明O，K；J，J′四点构成调和点列，即G（O，K；J，J′）构成调和线束。 因此，要证明结论1，改为证明（1）G，F，J′共线以及（2）GK平分J F就可以了。

F'AOJMM'KGO'FCEuler线J'HB下图中又画出了Napoleon点N、第二Napoleon点N′。与结论4相结合，可推得如下进一步结论：

“N，H，J共线；N′，H，J′也共线。”

F'AOJGNKFO'BCN'HJ'结论5 三角形的Mittonpunkt与Spieker点、垂心H三点共线。

A2004年2月27日晚探索得：三角形的Mittonpunkt与Spieker点、垂心H三点共线。FESpiekerMittonpunktHBDC

结论6 垂三角形DEF的垂心P与Spieker点Q，都在原三角形ABC的外心Ｏ与类似重心Ｋ的连线（Brocard轴）上。

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