(3)ur?k/r(k是不为零的常数),uθ?0。 (4)ur?0,uθ?k/r(k是不为零的常数)。
解:根据连续方程得定义,对于不可压缩流体??const,
?ux?uy?uz???divu???u?0时,满足连续方程 在直角坐标系中当?x?y?z(1)因
?ux?uy?uz???0,满足 ?x?y?z?ux?uy?uz?2xy?2xy???2??0,满足 (2)因?x?y?z(x?y2)2(x2?y2)2在圆柱坐标系中当
ur?ur?r?ru?u(4)因r?rr?r(3)因
ur?ur1?uθ?uz????0时,满足连续方程 r?rr???z1?uθ?uz1kk?????2?0?0,满足 r???zrrr1?uθ?uz1???0?0??0?0?0,满足 r???zr2233.6 三元不可压缩流场中,已知ux?x?yz,uy??(xy?yz?zx),且已知z?0处
uz?0,试求流场中的uz表达式。
?ux?uy?uz???0得 解:由不可压缩流场中连续方程?x?y?z?uzdu??2x?x?z?z ?zdzz2?c,由z?0处uz?0得c=0 积分得uz??xz?2z2所以流场中的uz表达式为uz??xz?
23.7 二元流场中已知圆周方向的分速度为uθ??csin?,试求径向分速度ur与合速度2ru0。
解:对于平面二维流场,uz?0,连续方程为
ur?ur1?uθ???0,代入解方程 r?rr??22223.8 三元不可压缩流场中ux?x?z?5,uy?y?z?3,且已知z?0处uz?0,
试求流场中的uz表达式,并检验是否无旋?
11
解:由连续方程
?udu?ux?uy?uz???0得 z??2x?2y?z ?x?y?z?zdz积分得uz??2(x?y)z?c,由z?0处uz?0得c=0 所以流场中的uz表达式为uz??2(x?y)z 由于?x?(1?uz?uy1?u?u1?u?u?)??2z,?y?(x?z)?2z,?z?(y?x)?0
2?y?z2?x?y2?z?x可见该流体运动是有旋的
3.9 已知二元流场的速度势为??x?y
(1)试求ux,uy并检验是否满足连续条件和无旋条件。 (2)求流函数。 解:(1)ux?22??????2y ?2x,uy??y?x?ux?uy1?uy?ux??2?2?0,满足连续方程;由于?z?(?)?0,无旋 由于?x?y2?x?y(2)ux??????2x ①;uy????2y ② ?y?x????ydy?f(x)?2xy?f( x ) ③
???2y?f'(x)?2y,可以判定f’(x)=0,f(x)=c ?y积分式①得 ??将式③对x求偏导,并令其等于?uy,即
即流函数为:??2xy?c
3.10 不可压缩流场的流函数为??5xy (1)证明流动有势,并求速度势函数。 (2)求(1,1)点的速度。 解: ux??????5x,uy????5y ?y?x1?uy?ux?)?0,无旋即有势 (1)由于?z?(2?x?y 12
ux???????5y ?5x,uy??y?x??????dx?dy?dz?uxdx?uydy?uzdz ?x?y?z由于d??对上式作不定积分得速度势函数:
????5x25y2???d???(dx?dy)??(uxdx?uydy)???c
?x?y22(2)(1,1)点的速度为ux?1?5,uy?1??5
22223.11 已知ux?xy?y,uy?x?yx,试求此流场中在x?1,y?2点处的线变率、
角变率和角转速。
22解:由ux?xy?y,uy?x?yx,x?1,y?2
22线变率为:?x??uy?ux=?2xy=?4 =2xy=4,?y??y?x1?uy?ux113?)?(2x?y2?x2?2y)?(2?4?1?4)? 角变率为:?z?(2?x?y222角转速为:?z?1?uy?ux117(?)?(2x?y2?x2?2y)?(2?4?1?4)?? 2?x?y2223.12 已知圆管过流断面上的速度分布为u?umax[1?(r2umax为管轴处最大流速,)],
r0r0为圆管半径,r为某点距管轴的径距。试求断面平均速度u。
解:断面平均速度u??udA?Ar0A?0r02r04r32?umax(r?2)dr2?umax(?2)r024r0umax ???r02?r022123Q0ab12c3dCABQ
题3.13图 题3.14图
DQQQ
3.13 管路AB在B点分为两支,已知dA=45cm,dB=30cm,dC=20cm,dD=15cm,
13
vA=2m/s,vC=4m/s,试求vB,vD。
解:由公式Q?Au?const得
2AAvAdAvAAvA?ABvB,得vB??2A?4.5m/s
ABdB22AAvA?ACvCdAvA?dCvCAAvA?ACvC?ADvD,得vD???10.9m/s 2ADdD3.14 送风管的断面面积为50cm×50cm,求通过a,b,c,d四个送风口向室内输送空气。已知送风口断面面积为40cm×40cm,气体平均速度为5m/s,试求通过送风管过流断面1-1、2-2、3-3的流速和流量。
解:由于a,b,c,d四个送风口完全相同,则Qa?Qb?Qc?Qd?流断面1-1、2-2、3-3的流量分别为:
1Q0 4311Q1?1?Qb?Qc?Qd?Q0,Q2?2??Qc?Qd?Q0,Q3?3?Qd?Q0
424由Av1?4A2v,得四个送风口的流速为v?12.8m/s 由Av1?A2v?Av11?1得,断面1-1流速v1?1?A1v?A2v?9.6m/s A1Av1?2A2v?6.4m/s
A1由Av1?2A2v?Av12?2得,断面2-2流速v2?2?断面3-3流速v3?3?A2v?3.2m/s A1 14
第4章 流体动力学基础
4.1 重度γoil=8.82kN/m3的重油,沿直径d=150mm输油管路流动,现测得其重量流量QG=490kN/h,问它的体积流量QV及平均流速v各为若干?
解:体积流量Qv?QG???490kN/h?55.56m3/h, 38.82kN/m平均流速v?Qv?d24155.561???0.873m/s 3600?0.152/436004.2 如图所示,水流过长直圆管的A、B两断面,A处的压头比B处大45m,试问:(1)水的流动方向?(2)水头损失hf?设流动不可压,一维定常流,H=50m。(压头为p/γ)
2u12p2u2??z2???hf 解:(1)假定流体从A到B,伯努利方程z1??2g?2gp1流动不可压缩,一维定常流,则z1?p1??z2?p2??hf
水头损失hf?z1?z2?(2)水头损失hf=5m
p1??p2???5m<0,则表明流体的流动是从B到A
4.3 水银压差计连接在水平放置的汾丘里流量计上,如图。今测得其中水银高差h=80mm,
已知D=10厘米,d=5厘米,汾丘里流量计的流量系数μ=0.98。问水通过流量计的实际流量为若干?
题4.2图 题4.3图
解:由文丘流量计流量公式Q?Au11?A1
2g?h?2(?1)得 2?d?1?12g?h?2?D22g?h?2Q?A1(?1)?(?1)?0.0201m3/s 22?d?1?14?d?1?1其中?d?2??g?13.6A1D?13.6 ?()2?4,2?2?2??1?1g?11A2d15
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