许贤良 陈庆光等编著《流体力学》参考答案(2)

?bh2C?2h/3G9810?2?321?2?3/30.196?105T???????1.63?105N

sin2?C?h2sin1201?322.11 如图示，一水库闸门，闸门自重W=2500N，宽b=3m，闸门与支撑间的摩擦系数?=0.3，当水深H=1.5m时，问提升闸门所需的力T为多少？

解：将z轴取在闸门上，竖直向下，原点为水面与闸门的交汇点 液面下深度h?z处微面积dA上的微液作用dF为

dF??hdA??hbdh

闸门上的总作用力为 F??H0dF???hbdh??BH2/2

0H由力平衡解得 T?W?F??2500?9922.5?12422.5N

2.12 在水深2m的水池下部有一个宽为1m，高为H=1m的正方形闸门OA，其转轴在O 点处，试问在A点处需加多大的水平推力F，才能封闭闸门？

题2.11图 题2.12图

解：将y轴取在闸门上，竖直向下，原点为水面与闸门延长线的交汇点 液面下深度h=y处微面积dA上的微液作用dF为

dF??hdA??hbdh

闸门上的总作用力为 F??2HHdF??2HH?hbdh?3? 2设压力中心为D到原点的距离为yD，则有

yD??21hdFF??H00?h2dh3?/2?1.56m

由F'H?(2H?yD)F得 F'?(2H?yD)F0.44F??6474.6N

H12.13 如图示，a 和b 是同样的圆柱形闸门，半径R=2m，水深H=R=2m，不同的是图（a）中水在左侧，而图（b）中水在右侧，求作用在闸门AB上的静水总压力P 的大小和方向？（闸门长度（垂直于纸面）按1m计算）。

6

（a）

（b）

题2.13图

2.14 如图示，为一储水设备，在C点测得绝对压强为p=19600N/m2，h=2m，R=1m，求半球曲面AB 的垂直分力。

题2.14图

h解：由题意得2，解得

pAB?S?F?GpAB?p??h2?R2F?pAB?S?G?(p??)S???10257.33N

232.15 一挡水坝如图示，坝前水深8m，坝后水深2m，求作用在每米坝长上总压力的大小和方向。

解：竖直方向段：F1?4?0?hdh?16??8? 24448??60方向段：F2??hCA??(4?)? 2sin60380方向段：F3??hC'A'??各作用力如图所示，

222? ??2sin80sin80F1'?F1?F2cos30?F3cos10?30?F2'?F2sin30?F3sin10?14.21?，

作用在每米坝长上总压力的大小和方向为：F?33.2??3.25?10N，??25.35 2.16 挡水弧形闸门如图示，闸前水深H=18m,半径R=8.5m，圆心角θ=450，门宽b=5m。求作用在弧形门上总压力的大小和方向。

5 7

18mRθ

题2.15图 题2.16图

?解：压力中心距液面为zC?9.528.5?2155面m积，曲.面

A??R4b?8.5??5?33.4m2 4总作用力F在x，z向的分力Fx、Fz为

Fx?Ax?dFx??Ax6zdA??zA??zAsin45?3.59?10N ?xCxCFz??dFz???zdAx??zCAz???zCA(1?2/2)??1.49?106N

AzAz总压力为F?Fx2?Fz2?3.89?106N，与x轴的夹角为??arctanFZ?22.54 FX2.17 盛有水的开口圆桶形容器，以角速度ω绕垂直轴O作等速旋转。当露出桶底时，ω应为若干？（如图示中符号说明：坐标原点设在筒底中心处。圆筒未转动时，筒内水面高度为h。当容器绕轴旋转时，其中心处液面降至Ho，贴壁液面上升至H高度。容器直径为D。）

ωHhH0OD

题2.17图

解：由回转抛物体的体积恰好是高度为h的圆柱体体积之半得：

?R22所以??H??R2?2R22?2g

12gH R8

第3章 流体运动学

3.1 已知流体的速度分布为ux?1?y；uy?t，求t=1时过（0,0）点的流线及t=0时位于（0,0）点的质点轨迹。

解：（1）将ux?1?y，uy?t带入流线微分方程

dxdy?得 uxuydxdy? 1?yty2?c t被看成常数，则积分上式得xt?y?2y2?0 t=1时过（0,0）点的流线为x?y?2（2）将ux?1?y，uy?t带入迹线微分方程

dxdy??dt得 uxuydxdy??dt 1?ytt2?c2 解这个微分方程得迹的参数方程：x?(1?y)t?c1，y?2将t?0时刻，点（0,0）代入可得积分常数：c1?0，c2?0。 带入上式并消去t可得迹线方程为：x?(1?y)2y

3.2 给出流速场为u?(6?xy?t)i?(xy?10t)j?25k，求空间点（3,0,2）在t=1时的加速度。

解：根据加速度的定义可知：

222a?du?udx?udy?udz?u?u?u?u?u?????ux?uy?uz?

?x?y?z?tdt?xdt?ydt?zdt?tux?6?x2y?t2，uy??(xy2?10t)，uz?25

a在x,y,z向分速度如下：

ax?dux?ux?u?u?u?ux?xuy?xuz?x?2xy(6?x2y?t2)?x2(xy2?10t)?2t dt?x?y?z?t 9

ay?duydt??uy?xux??uy?yuy??uy?zuz??uy?t??y2(6?x2y?t2)?2xy(xy2?10t)?10az?duz?uz?u?u?u?ux?zuy?zuz?z?0 dt?x?y?z?tt=1时，点（3,0,2）的加速度为：a??88i?10j

3.3 已知流场的速度为ux?2kx，uy?2ky，uz??4kz，式中k为常数。试求通过（1，0，1）点的流线方程。

解：将ux?2kx，uy?2ky，uz??4kz带入流线微分方程

dxdydz??得 uxuyuz?dx??dxdydz2kx???即?2kx2ky?4kz?dy???2kydz?4kz dz?4kz2??xz?c1k被看成常数，则积分上式得?2，将点（1，0，1）代入得c1?1,c2?0

??yz?c2?x2z?1?于是流线方程为?2

??yz?03.4 已知流场的速度为ux?1?At，uy?2x，试确定t=to时通过（xo,yo）点的流线方程。A为常数。

解：将ux?1?At，uy?2x带入流线微分方程

dxdy?得 uxuydxdy ?1?At2xt被看成常数，则积分上式得x?(1?At)y?c

2t=to时通过（xo,yo）点，得c?x0?(1?At0)y0 22于是流线方程为x?(1?At)y?x0?(1?At0)y0

23.5 试证明下列不可压缩流体运动中，哪些满足连续方程，哪些不满足连续方程？ （1）ux??ky，uy?kx，uz?0。 （2）ux?

?yxu?，，uz?0。 yx2?y2x2?y210

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